Всего: 819 … 361–380 | 381–400 | 401–420 | 421–440 | 441–460 | 461–480 | 481–500 | 501–520 …
Добавить в вариант
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 
а высота SH пирамиды равна 
Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
откуда 
Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если 
откуда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, заключаем, что прямые BH и ED параллельны.
Далее имеем: 
Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра AB.
а) Докажите, что отношение объёмов многогранников, на которые разбивает призму плоскость PCD1, равно 7 : 17.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью PCD1, если известно, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.
Очевидно, K — середина 
Сечение — трапеция 
имеем 
имеем 
равнобедренный, а его высота к основанию равна 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка P — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1C1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BPM проходит через точку C.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость BPM разбивает данную призму, если известно, что AB = 6, AA1 = 4.
то 
поэтому точки P, M, B, C лежат в одной плоскости.
поскольку 
то 
— средняя линия EAC и 
баллы аналогично со второй прямой)
Числовые данные в этой задаче не нужны.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.
б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна 
Аналогично 
поэтому треугольники AKE и MCP имеют суммарную площадь 
Аналогично и треугольники BKM и EPD. Значит, на долю KMPE приходится 
что и требовалось.
и 
поэтому KMPE — параллелограмм. Причем 
откуда углы параллелограмма — 60° и 120°. В таком случае его большая диагональ равна по теореме косинусов 
а) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?
б) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?
в) Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.
прямые, параллельные его сторонам. Они пересекут по две стороны пятиугольника каждая. Оставим из этих точек пересечения по одной на каждой стороне — на 
ближайшую к 
(пусть это 
), на 
ближайшую к 
(пусть это 
) и так далее. Тогда 
— пять трапеций, покрывающие без пересечений пятиугольник.
продлим сторону 
прямые, параллельные 
подходит — 
будет параллелограммом, а оставшаяся часть — правильный шестиугольник, который легко разбить на три параллелограмма, соединив центр с вершинами 
На проекте «Мисс Чмаровка — 2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.
а) Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми?
б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной 
в) Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Тогда изучаемая величина равна
эта разность равна нулю.
то заменим его на 10. Если 
то заменим b на 
Потом также заменим c, d, e на 
Получим 
достигается при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 10.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
Можно ли n попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если:
а) n = 3;
б) n = 4;
в) n = 5?
находим пример: 54, 10, 90.
(последнее уравнение является следствием остальных, но это неважно), выберем 
Тогда 
Получили пример: 63, 193, 3, 1.
находим 
Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке Е касается стороны BC в точке K.
а) Докажите, что ВК = СМ.
б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС = 5, ВС = 6, АВ = 4.
и 
имеем:
В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е. Окружность ω2, описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.
А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.
Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.
Угол 
опирается на дугу 
равную сумме дуг 
и 
то есть сумме дуг 
(поскольку E лежит на биссектрисе ACB). Следовательно, 
(они оба равны полусумме дуг CA и BE). Итак, 
что и требовалось доказать.
Тогда треугольники 
и 
равны по второму признаку (общая сторона и равные углы, прилежащие к ней, см. п.а). То есть 
Тогда треугольники 
и 
равны по стороне и двум углам 
так как оба угла равны
а 
поскольку CD — биссектриса). Итак, 
По теореме косинусов, обозначая 
получим
(второй корень отрицательный).
Тогда по теореме синусов для треугольника FDE:
В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N — середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.
А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.
Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ = 8, АР = 6.
поскольку плоскость 
делит высоту пирамиды пополам и параллельна плоскости основания).
— середина 
Тогда 
— оба они подобны 
с коэффициентом 
Следовательно, они оба равносторонние. Центр сферы будет лежать на высоте пирамиды, которая равна 
равны и их радиусы описанных окружностей. Они равны 
А центр сферы лежит посредине между плоскостями этих треугольников. Поэтому расстояние от него до плоскостей равно 
и тогда радиус сферы равен 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ : С1М = 1 : 3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.
А) Докажите, что ВК : В1К = 1 : 5.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ = 3, СС1 = 8.
и с осями, направленными по продолжению 
и 
Пусть высота призмы равна 
а ребро основания равно 
Тогда координаты некоторых точек легко найти 
Составим уравнение плоскости 
Пусть это 
Тогда 
Пусть 
тогда 
а тогда 
) выглядит так: 
Для этого подставим 
в наше уравнение
что и требовалось доказать.
поэтому проекцией сечения будет пятиугольник 
площадь которого составляет 
от площади основания и равна поэтому 
Угол между нашей плоскостью и плоскостью основания посчитаем по известной формуле. У нас сейчас 
поэтому уравнение плоскости
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное 
Таким образом, уравнение на отрезке 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
В этом случае получим:
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки 
тогда 
кроме значения 
Таким образом, 
кроме 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
угловой коэффициент 
получаем:
или 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства 
получаем, что 
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.
и 
Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
тыс. руб.
и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что 
3-й год: 
4-й год: 
5-й год: 
6-й год: 
7-й год: 
8-й год: 
9-й год: 
10-й год: 
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и 
Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и 
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: 
и 
следовательно, AC — биссектриса угла 
, точки A, D и C лежат на окружности радиуса 6,5 с центром в точке 
Продолжим основание BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке 
Тогда 
— диаметр окружности, а ADCE — равнобедренная трапеция. Поэтому 
а так как точка A лежит на окружности с диаметром CE, получаем, что 
Из прямоугольного треугольника CAE находим, что 
Следовательно, 
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.
Следовательно, CD = AE = 8.
были ее радиусами. Тогда углы BCA и CAD равны как накрест лежащие, а углы BCA и BAC равны, поскольку треугольник ABC равнобедренный. Получаем: 
то есть AC — биссектриса угла BAD.
По теореме синусов:
На ребре 
прямоугольного параллелепипеда 
взята точка E так, что 
на ребре 
— точка F так, что 
а точка T — середина ребра 
Известно, что 
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину 
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью 
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Значит, прямая 
лежит в плоскости 
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(L — середина 
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
Тогда тангенс искомого угла равен 6: 
На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка E так, что 
на ребре — точка F так, что 
а точка T — середина ребра Известно, что 
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью
и 
(L — середина 
Тогда тангенс искомого угла равен 6: 
