Всего: 819 … 701–720 | 721–740 | 741–760 | 761–780 | 781–800 | 801–819
Добавить в вариант
Коля записал уравнение 
которое имеет 2 различных натуральных корня x1 и x2 (b и c — некоторые числа). Петя записал уравнение 
которое имеет 2 различных натуральных корня x3 и x4 (d и e — некоторые числа). Маша посмотрела на уравнения Коли и Пети и записала уравнение 
а) Возможно ли, что уравнение Маши не имеет корней?
б) Возможно ли, что уравнение Маши имеет два различных корня и ровно один из них натуральный, если среди чисел x1, x2, x3, x4 ровно два — нечетны?
в) Известно, что b = d и 
а уравнение Маши имеет два различных натуральных корня. Найдите наименьшее возможное значение 
а Петя — уравнение 
Тогда Машино уравнение будет 
его дискриминант равен 
Петиного за 
и Машиного, деленного на 2, за 
Для уравнения 
по теореме Виета получим:
Требуется найти наименьшее значение t. Заметим, что 
Перебирая числа, меньшие 7, выясняем, что для них решений у этого уравнения нет. Значит, 
Для уравнений 
и 
Машино уравнение примет вид 
и имеет корни 5 и 15, а сами они имеют корни (3; 17) и (9; 11). Значит, значение 2t = 14 действительно достигается.В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка K — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DK пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AKOE и треугольника COD равны.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AKOE к площади трапеции ABCD, если BC = 3, AD = 4.
Треугольники PCO и DEO подобны, причем
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, F — середина ВЕ, K — середина FD, М — середина СK.
а) Докажите, что точки Е, K и С лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь четырехугольника BFKM, если площадь параллелограмма ABCD равна 50.
то есть 
Пусть также отрезки CE и PD пересекаются в точке K1. Тогда подобны треугольники K1DE и K1PC, значит,
и
а потому
и
Площадь трапеции BCDE равна
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 1.
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда 
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если 
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда в прямоугольном треугольнике LAM с углом 60° находим: 
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если 
Таким образом, длина стороны MN равна
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
иначе произведение ab будет меньше 45, а произведение ef будет больше 120. Другими словами, на доске может быть только одно число a < 8 и только одно число f > 10. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 8, 9 и 10, что невозможно.
Сумма четырех чисел наименьшая, когда каждое слагаемое принимает наименьшее возможное значение. Наименьшее возможное произведение 
поэтому 
Тогда 
наименьшее значение суммы четырех чисел равно 33.Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что AC = 9.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
Окружность касается сторон треугольника AB, BC, AC и средней линии EF, следовательно, окружность вписана в четырёхугольник AEFC. Тогда суммы его противоположных сторон равны: 
Периметр треугольника равен
тогда 
а по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC получаем:
которая вписана в окружность. Тогда четырехугольник ABED — равнобедренная трапеция, значит, её диагонали AE и BD равны. Рассмотрим четырёхугольник ABDK. Он вписанный, его стороны AB и KD параллельны, тогда четырёхугольник ABDK — или равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AK и BD, или прямоугольник. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
откуда 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1.
б) Найдите высоту призмы, если ее объем равен 5 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K : KC1 = 2 : 3.
Продлим прямые AM и KN до пересечения в точке E. В треугольнике AEN отрезок MK — средняя линия, 
Значит, точка M — середина отрезка AE, а точка K — середина отрезка NE. Прямая AE лежит в плоскости ABB1, прямая NE — в плоскости CBB1, все общие точки этих плоскостей, в том числе и точка E, лежат на прямой BB1. 
Пусть 
тогда 
По условию 
следовательно, 
и прямоугольные треугольники EMB1 и EKB1 равны по гипотенузе и общему катету. Значит, 
По условию 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABN получаем:
откуда 
На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
и 
должны быть целыми числами. Следовательно, числа 
и 
должны делиться на 4, а значит, их разность 
также должна делиться на 4. Таким образом, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 4. Аналогично можно показать, что разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 5, а значит, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 20. Разность чисел 2013 и 403 равна 1610 и не делится на 20. Следовательно, числа 403 и 2013 одновременно не могут быть среди записанных чисел.
где k — натуральное число или 0. Остаток от деления такого числа на 4 равен 3. С другой стороны, остаток от деления любого квадрата натурального числа на 4 равен 0 или 1. Значит, среди чисел, записанных на доске, не может быть квадратов натуральных чисел.
должны давать одинаковые остатки при делении на 20, то есть число 
должно делиться на 20. Поскольку 
одно из чисел 
и 
должно делиться на 5. Таким образом, перебирая числа, для которых это выполнено, то есть числа 4, 6, 9, 11, 14, 16, ..., получаем, что наименьшее значение n, для которого 
служит набор чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, содержащий число 81. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N соответственно, причем ВМ = ВN. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная ВС, а через точку N — прямая, перпендикулярная АВ. Эти прямые пересекаются в точке О. Продолжение отрезка ВО пересекает сторону АС в точке Р, АР = 5, РС = 4.
а) Докажите, что ВР — биссектриса треугольника АВС.
б) Найдите длину отрезка ВР, если ВС = 6.
Треугольник BMN — равнобедренный по определению, поэтому 
Значит, 
треугольник OMN — равнобедренный, то есть 
Следовательно, треугольники MBO и NBO равны по трем сторонам, откуда 
Таким образом, луч BP — биссектриса угла ABC.
Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABP:
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF.
а) Докажите, что точки A, F, С и D лежат на одной окружности.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD = 10 и 
В треугольниках ABE и EDF углы при основании равны, а потому 
Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Кроме того,
тогда 
Следовательно, точки A, F, С и D лежат на одной окружности.
и 
В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть 
Тогда искомое расстояние равно
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B1C1
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что 
Следовательно, четырехугольник EFTD1 — трапеция. 
и 
Гипотенуза D1M равна 
Значит, высота A1H треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 1. Точка T — середина ребра B1C1
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что 
Следовательно, EFTD1 — трапеция. 
и 
Гипотенуза D1M равна 
Значит, высота A1H треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 30, BC = 16.
Четырехугольник EKFM — искомое сечение — параллелограмм. Далее, 
Значит, EKMF — прямоугольник.
и E — середина DB, отрезок EK — средняя линия треугольника 
значит, 
аналогично 
Далее, 
так как EKMF прямоугольник, и 
Пусть MK пересекает EF в точке 
Применим теорему косинусов в треугольнике 
На ребре 
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 4EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 16, AA1 = 20.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 3 : 2.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.
и в плоскости грани 
проведём через точку T прямую, параллельную 
Эта прямая пересечёт ребро 
в точке 
Точка F лежит в плоскости 
и делит 
и 
подобны. Следовательно,
Тогда 
и 
— сечение параллелепипеда плоскостью 
Поскольку стороны FT и 
до пересечения в точке 
Точка T — середина 
и, следовательно, T — середина 
поэтому отрезок FT — средняя линия треугольника 
Из равенства треугольников 
и 
получаем 
откуда 
то есть трапеция 
Имеем:
