Ре­ше­ние. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек: эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век  ― от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а в боль­шем клас­се  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: в одном клас­се  ― 22 де­воч­ки, в дру­гом  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло де­во­чек. Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце от­рез­ка [2; 22], то есть при Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим бук­вой t время, про­шед­шее с на­чаль­но­го мо­мен­та вре­ме­ни. По­сколь­ку каж­дый ве­ло­си­пе­дист дви­жет­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам, то рас­сто­я­ние между ними может быть вы­чис­ле­но по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Рас­смот­рим f (t)  — квад­рат длины в каж­дый мо­мент вре­ме­ни, тогда

Итак, У дан­ной квад­ра­тич­ной функ­ции есть наи­мень­шее зна­че­ние, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при мин. Най­дем его:

Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми равно км и будет до­стиг­ну­то через мин.

Ответ: мин, км.

При­ме­ча­ние.

Усло­вие уточ­не­но ре­дак­ци­ей Решу ЕГЭ.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. При­мем объем бас­сей­на за 1. Пусть вна­ча­ле пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли бас­сей­на. Тогда время на­пол­не­ния бас­сей­на

Най­дем, при каком V по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние наи­мень­ше­го зна­че­ния. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, пе­ре­се­ка­ю­щая ось абс­цисс в точ­ках 20 и ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Абс­цис­са вер­ши­ны этой па­ра­бо­лы равна Эта ве­ли­чи­на лежит в ин­тер­ва­ле (0; 10), а зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на на дан­ном ин­тер­ва­ле и до­сти­га­ет­ся при Оста­лось за­ме­тить, что наи­боль­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­но, по­это­му оно со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му зна­че­нию

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В общем слу­чае можно ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной. Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 10). Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние ис­поль­зуя рав­но­силь­ность

Не­труд­но по­ка­зать, что это точка ми­ни­му­ма, в ко­то­рой функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на. В ре­зуль­та­те бас­сейн был налит пол­но­стью.

Из­вест­но, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (не­ра­вен­ство Коши).

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби имеет наи­боль­шее зна­че­ние в точке А это зна­чит: имеет наи­мень­шее зна­че­ние в точке (зна­че­ние V при­над­ле­жит за­дан­но­му про­ме­жут­ку). Сле­до­ва­тель­но, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное зна­че­ние в той же точке При этом

Итак, при по­лу­чим А это зна­чит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наи­мень­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, а ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти оди­на­ко­во эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют и алю­ми­ний, и ни­кель, они могут до­бы­вать любой из ме­тал­лов. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,1  =  80 кг ме­тал­ла.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют t ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − t ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных t, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При t мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при t боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 120 кг ме­тал­ла.

Ответ: 120 кг.

Ре­ше­ние. Пер­вое ре­ше­ние:

Из усло­вия «на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-смен» сле­ду­ет, что ра­бо­та­ю­щие на за­во­де 100 че­ло­век за смену смо­гут про­из­ве­сти мак­си­мум 10 де­та­лей од­но­го типа.

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, а осталь­ные 100 − х ра­бо­чих про­из­во­дят де­та­ли типа В, и пусть на вто­ром ком­би­на­те из 10 де­та­лей про­из­во­дит­ся y де­та­лей типа А и 10 − y де­та­лей типа В. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат		y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт.  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных целых зна­че­ни­ях y, не боль­ших 10.

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая. Наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке она при­ни­ма­ет при при этом а

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство из­де­лий за смену будет со­бра­но, если на вто­ром за­во­де будут из­го­тав­ли­вать толь­ко де­та­ли типа В (100 ра­бо­чих из­го­то­вят 10 де­та­лей типа В), а на пер­вом за­во­де 11 че­ло­век из­го­то­вят 33 де­та­ли типа А, а осталь­ные 89 ра­бо­чих из­го­то­вят 89 де­та­лей типа В. Итого по­лу­чим 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В, на про­из­вод­стве ко­то­рых были за­ня­ты все 200 че­ло­век.

Зна­чит, ком­би­нат смо­жет со­брать за смену 33 из­де­лия.

Ответ: 33 из­де­лия.

За­ме­ча­ние.

Вна­ча­ле мы про­чли усло­вие иначе и по­ла­га­ли, что на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей каж­до­го типа (и А, и В не­за­ви­си­мо друг от друга) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен. При­ведём ре­ше­ние и при­ме­ча­ния к нему для та­ко­го по­ни­ма­ния усло­вия. К этому же по­ни­ма­нию усло­вия от­но­сят­ся ком­мен­та­рии чи­та­те­лей.

Вто­рое ре­ше­ние:

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих, а на вто­ром ком­би­на­те y ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат	y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях y не боль­ших 100. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти, рав­ным при этом Ко­ли­че­ство де­та­лей долж­но быть на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ра­бо­чие могут про­из­ве­сти, самое боль­шее, 33 де­та­ли типа А.

Из (*) на­хо­дим чел. Это озна­ча­ет, что 10 ра­бо­чиx пер­во­го ком­би­на­та и 10 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, за сутки они про­из­ве­дут их 33 шт, остав­ши­е­ся 90 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та и 90 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­лей В, за сутки они про­из­ве­дут их 99 шт.

Ответ: 33 из­де­лия.

При­ме­ча­ние 1.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель мог бы за­дать во­прос о том, по­че­му в ра­вен­стве (*) пред­по­ла­га­ет­ся, что де­та­лей про­из­во­дит­ся ровно в от­но­ше­нии 1 : 3. Ведь можно про­из­ве­сти, на­при­мер, 11 де­та­лей типа B и 34 де­та­ли типа А, из них по­лу­чит­ся со­брать 33 из­де­лия, а одна де­таль типа А оста­нет­ся лиш­ней. От­ве­тим на этот во­прос.

Если есть лиш­ние де­та­ли, то умень­шим их число до со­от­но­ше­ния 1 : 3 и от­пра­вим на обед людей, про­из­во­див­ших лиш­ние де­та­ли. Тогда по­лу­чим ре­ше­ние за­да­чи для мень­ше­го числа людей, но с тем же вы­хо­дом про­дук­та и со­от­но­ше­ни­ем де­та­лей 1 : 3. Те­перь вернём людей с обеда. Мень­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий мы не по­лу­чим, по­сколь­ку за­ви­си­мость между чис­лом де­та­лей и ко­ли­че­ством людей не­убы­ва­ю­щая. Боль­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий тоже не до­стичь, по­сколь­ку из лиш­них де­та­лей це­ло­го из­де­лия со­брать не по­лу­чит­ся. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий сов­па­дет с най­ден­ным.

При­ме­ча­ние 2.

За­ме­тим, что если ра­бо­чие вто­ро­го ком­би­на­та будут про­из­во­дить толь­ко де­та­ли типа В, то они про­из­ве­дут их 10 шт. Пусть при этом 89 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 89 де­та­лей типа В, а остав­ши­е­ся 11 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 33 де­та­ли типа А. Тогда всего будет про­из­ве­де­но 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В. Из них также можно со­брать 33 из­де­лия. Таких ва­ри­ан­тов до­воль­но много (см. таб­ли­цу в конце).

При­ме­ча­ние 3.

Можно было бы спро­сить, по­че­му не об­ра­зо­вать из ра­бо­чих вто­ро­го за­во­да 100 не­за­ви­си­мых групп, каж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из од­но­го ра­бо­че­го.

При­ведём ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва.

Пусть пер­вый завод вы­пус­ка­ет x де­та­лей В, а вто­рой завод вы­пус­ка­ет y де­та­лей В. Тогда на пер­вом за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет x ра­бо­чих, а де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му пер­вый завод вы­пус­ка­ет де­та­лей А.

На вто­ром за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет ра­бо­чих, де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му вто­рой завод вы­пус­ка­ет де­та­лей A. Здесь   — целая часть числа.

Пусть ком­би­нат вы­пус­ка­ет k из­де­лий. Имеем сле­ду­ю­щие не­об­хо­ди­мые и до­ста­точ­ные усло­вия:

Рас­смот­рим Тогда по­лу­чим:

До­мно­жим вто­рое не­ра­вен­ство на 3 и сло­жим с пер­вым, по­лу­чим: За­ме­тим, что (при ) удо­вле­тво­ря­ют ис­ход­но­му не­ра­вен­ству. То есть ком­би­нат может из­го­то­вить 33 из­де­лия.

Про­ве­рим, может ли он из­го­то­вить боль­ше. Пусть тогда

По­сколь­ку те­перь мы можем счи­тать из вто­ро­го не­ра­вен­ства на­хо­дим Тогда оце­ним: По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие с пер­вым не­ра­вен­ством.

Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное число из­де­лий, ко­то­рое может про­из­ве­сти ком­би­нат, равно 33.

При­ведём таб­ли­цу дру­гих ва­ри­ан­тов, также да­ю­щих 33 из­де­лия.

Ре­ше­ние. Пусть на сер­ве­ре № 1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре № 2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции. Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние суммы при усло­вии, что

По­ло­жим для не­ко­то­ро­го угла За­ме­тим, что и по­это­му

Не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство для не­ко­то­ро­го вспо­мо­га­тель­но­го угла та­ко­го, что то есть при Най­ден­ные зна­че­ния удо­вле­тво­ря­ют огра­ни­че­ни­ям

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции. Вы­ра­зим y через Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Не­труд­но за­ме­тить, что    — точка мак­си­му­ма функ­ции, при этом Усло­вия вы­пол­не­ны. Зна­чит,

При­ведём тре­тий ва­ри­ант ре­ше­ния.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции.

Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом 58 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Урав­не­ние за­да­ет се­мей­ство па­рал­лель­ных пря­мых. Мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние C такое, что пря­мая имеет общие точки с окруж­но­стью. Из всех пря­мых се­мей­ства пе­ре­се­ка­ю­щих окруж­ность, наи­боль­шее зна­че­ние C будет до­сти­гать­ся в слу­чае ка­са­ния.

Про­ве­дем из на­ча­ла ко­ор­ди­нат в пер­вый ко­ор­ди­нат­ный квад­рант век­тор пер­пен­ди­ку­ляр­ный пря­мым Луч, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру пе­ре­сечёт окруж­ность в точке Это и будет точка ка­са­ния в ко­то­рой до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние Усло­вия для точки вы­пол­не­ны. Зна­чит,

Ответ: 1682.

Ре­ше­ние. На пер­вой шахте наи­бо­лее эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют ни­кель. Пусть все 100 че­ло­ве­ко-часов в пер­вой шахте будут за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля, тогда его до­бу­дут на ней 200 кг. Для по­лу­че­ния с спла­ва с до­бы­тым на пер­вой шахте ни­ке­лем на вто­рой шахте не­об­хо­ди­мо до­быть 400 кг алю­ми­ния, с этим спра­вят­ся 40 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов каж­дый. Из остав­ших­ся 60 ра­бо­чих вто­рой шахты можно по­ло­ви­ну на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, а вто­рую по­ло­ви­ну  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они про­из­ве­дут 150 кг ни­ке­ля и 300 кг алю­ми­ния. При этом всего будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса общая спла­ва будет равна 1050 кг.

По­ка­жем, что луч­шей про­из­во­ди­тель­но­сти не до­стичь: дей­стви­тель­но, ра­бо­чие не про­ста­и­ва­ют, ме­тал­ла не до­бы­ва­ет­ся с из­быт­ком. Если же на пер­вой шахте за kn че­ло­ве­ко-⁠часов вме­сто 2kn кг ни­ке­ля до­бу­дут kn кг алю­ми­ния, то для про­из­вод­ства спла­ва на вто­рой шахте по­тре­бу­ет­ся до­быть 0,5kn ни­ке­ля вме­сто воз­мож­ных kn кг алю­ми­ния. При таком рас­пре­де­ле­нии уси­лий ра­бо­чих вме­сто воз­мож­ных 3kn кг спла­ва будет про­из­ве­де­но 1,5kn кг спла­ва, то есть труд будет не­эф­фек­тив­ным.

Ответ: 1050 кг.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть в пер­вой шахте на до­бы­че алю­ми­ния за день будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой шахте − y че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг
Шахта 1	x	x
Шахта 2	y	2y
Всего

По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать вдвое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Пусть s  — масса спла­ва, она втрое боль­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля: Най­дем наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него :

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние y. Из ясно, что наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y равно 350, при этом х  =  0, Это озна­ча­ет, что 350 че­ло­ве­ко-часов во вто­рой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи алю­ми­ния, а остав­ши­е­ся 150 че­ло­ве­ко-⁠часов во вто­рой шахте и все 100 че­ло­ве­ко-⁠часов в пер­вой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля. При этом будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса спла­ва будет равна 1050 кг.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в сутки может быть за­тра­че­но 200 че­ло­ве­ко-⁠часов труда. При этом в пер­вой об­ла­сти будет до­бы­то 0,2 · 200  =  40 кг ме­тал­лов. Пусть в ней будет до­бы­то y кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то (40 − y) кг. Пусть во вто­рой об­ла­сти будет до­бы­то x кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то кг.

Для про­из­вод­ства спла­ва за­во­ду не­об­хо­ди­мо по­лу­чить рав­ное ко­ли­че­ство алю­ми­ния и ни­ке­ля, по­это­му долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

При этом масса спла­ва будет равна сумме масс всех ме­тал­лов:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Ука­жем знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма при Из ра­вен­ства (*) для на­хо­дим Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(x) равно

Таким об­ра­зом, завод смо­жет про­из­во­дить 60 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 1 кг ни­ке­ля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут х кг алю­ми­ния и (20 − х) кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, n ра­бо­чих до­бы­ва­ют кг лю­бо­го из ме­тал­лов, по­это­му вме­сте бри­га­ды до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать втрое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Ко­ли­че­ству ни­ке­ля со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ство спла­ва Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при на­ту­раль­ных y не боль­ших 20.

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти.

Далее имеем: из (*) Это озна­ча­ет, что все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алю­ми­ния, за сутки они про­из­ве­дут его 20 кг, а ра­бо­чие вто­рой об­ла­сти бри­га­да­ми по 10 и 10 че­ло­век долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния и ни­ке­ля, они до­бу­дут их по 10 кг. Всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля, из них будет про­из­ве­де­но 40 кг спла­ва.

Ответ: 40 кг.

При­ве­дем ре­ше­ние Ольги Ты­нья­но­вой.

Най­дем мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство ме­тал­ла, ко­то­рое может быть до­бы­то в двух об­ла­стях.

В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг ме­тал­ла (алю­ми­ния или ни­ке­ля), по­это­му общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла равно 0,1 · 20 · 10  =  20 кг.

Пусть во вто­рой об­ла­сти до­бы­то х кг алю­ми­ния, тогда на его до­бы­чу будет за­тра­че­но x² часов, и на до­бы­чу ни­ке­ля можно будет за­тра­тить 200 − x² часов, при этом будет до­бы­то кг ни­ке­ля.

Общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го во вто­рой об­ла­сти ме­тал­ла со­ста­вит

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При x  =  10 функ­ция f(x) до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния, рав­но­го 20.

Таким об­ра­зом, во вто­рой об­ла­сти мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла со­став­ля­ет 20 кг при усло­вии, что до­бы­ва­ет­ся 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля.

Сле­до­ва­тель­но, общее ко­ли­че­ство ме­тал­ла, до­бы­то­го в двух об­ла­стях, не может быть боль­ше 40 кг, а сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство про­из­ве­ден­но­го за­во­дом спла­ва также не может быть боль­ше 40 кг.

По­ка­жем, что ко­ли­че­ство спла­ва может быть равно 40 кг.

При мак­си­маль­ном про­из­вод­стве ме­тал­ла во вто­рой об­ла­сти там будет до­бы­то 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля. Если в пер­вой об­ла­сти все ра­бо­чие будут за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, то его будет до­бы­то 20 кг. Сле­до­ва­тель­но, всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния, и на 1 кг ни­ке­ля будет при­хо­дит­ся 3 кг алю­ми­ния, как и тре­бу­ет­ся для про­из­вод­ства спла­ва.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство спла­ва, ко­то­рое может про­из­ве­сти завод, равно 40 кг.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в день может быть за­тра­че­но 1000 че­ло­ве­ко-часов труда.

Пусть в пер­вой об­ла­сти на до­бы­че алю­ми­ния еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-⁠часов, а во вто­рой об­ла­сти  — y² че­ло­ве­ко-⁠часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг
Пер­вая об­ласть	x	0,3x
Вто­рая об­ласть		y
Всего

Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть равна массе до­бы­то­го ни­ке­ля:

Пусть m  — масса спла­ва, она равна сумме масс до­бы­тых ме­тал­лов:

Учи­ты­вая ра­вен­ство имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(y) равно Зна­чит, завод смо­жет про­из­во­дить 200 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть на­прав­ле­ны на до­бы­чу ни­ке­ля, ко­то­рый они до­бы­ва­ют втрое более эф­фек­тив­но, чем алю­ми­ний. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,3  =  240 кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют y ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − y ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

для не­от­ри­ца­тель­ных целых y, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При y мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при y боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 280 кг ме­тал­ла.

Ответ: 280 кг.

При­ме­ча­ние.

Можно было обой­тись без про­из­вод­ной. На­пом­ним, что наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке и равно До­ка­за­тель­ство можно по­лу­чить, на­при­мер, воз­ве­де­ни­ем в квад­рат.

В нашем слу­чае по­это­му ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точке, где то есть при

При­ведём гео­мет­ри­че­ское ре­ше­ние.

Пусть во вто­рой об­ла­сти на до­бы­чу алю­ми­ния будет от­ве­де­но че­ло­ве­ко-часов, а на до­бы­чу ни­ке­ля  — че­ло­ве­ко-часов. Всего ра­бо­чих 160, ра­бо­тая по 5 часов, они вы­ра­ба­ты­ва­ют 800 че­ло­ве­ко-часов в сутки, по­это­му Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ных тре­бу­ет­ся опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние ко­ли­че­ства до­бы­то­го ме­тал­ла Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра s, при ко­то­ром пря­мая, за­да­ва­е­мая урав­не­ни­ем будет иметь с окруж­но­стью общие точки, ле­жа­щие в пер­вой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти.

Из ри­сун­ка видно, что точка ка­са­ния яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния долж­ны удо­вле­тво­рять урав­не­нию окруж­но­сти. Тогда от­ку­да при

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. Для этого ра­бо­чие в каж­дой из об­ла­стей долж­ны ра­бо­тать по 5 часов в сутки. Всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния: за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в три раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки в пер­вой об­ла­сти до­бу­дут кг алю­ми­ния.

Во вто­рой об­ла­сти 90 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов, за­тра­тят на до­бы­чу ме­тал­ла 450 че­ло­ве­ко-часов. Пусть x че­ло­ве­ко-⁠часов они за­тра­тят на до­бы­чу алю­ми­ния, тогда 450 − x часов будет за­тра­че­но на до­бы­чу ни­ке­ля. Всего будет до­бы­то кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [0; 450]. При­ме­няя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним квад­ра­тич­ным, по­лу­ча­ем:

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да При най­ден­ном зна­че­нии х будет до­бы­то кг ме­тал­ла (15 кг алю­ми­ния и 15 кг ни­ке­ля).

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 135 + 30  =  165 кг.

Ответ: 165 кг.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в день может быть за­тра­че­но 500 че­ло­ве­ко-часов труда.

Пусть в пер­вой об­ла­сти на до­бы­че алю­ми­ния еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой об­ла­сти − y² че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг
Пер­вая об­ласть	x	0,2x
Вто­рая об­ласть		y
Всего

Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть вдвое мень­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля:

Пусть m  — масса спла­ва, она равна сумме масс до­бы­тых ме­тал­лов:

Учи­ты­вая ра­вен­ство имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(y) равно Зна­чит, завод смо­жет про­из­во­дить 90 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Для со­вер­ше­ния ми­ни­маль­но­го ко­ли­че­ства по­ез­док за­груз­ка ав­то­мо­би­ля долж­на быть мак­си­маль­ной. C учётом гру­зо­подъёмно­сти и га­ба­рит­ных раз­ме­ров воз­мож­ны три спо­со­ба мак­си­маль­ной за­груз­ки ав­то­мо­би­ля:

а)  2 боль­ших блока и 2 ма­лень­ких блока (масса 7,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков);

б)  1 боль­шой блок и 20 ма­лень­ких бло­ков (масса 8,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков);

в)  38 ма­лень­ких бло­ков (масса 9,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков).

Пусть пер­вым спо­со­бом будет со­вер­ше­но x пе­ре­во­зок, вто­рым  — y пе­ре­во­зок, тре­тьим  — z пе­ре­во­зок. Тре­бу­ет­ся найти ми­ни­маль­ное зна­че­ние суммы при вы­пол­не­нии усло­вий

До­мно­жим пер­вое не­ра­вен­ство на 18 и сло­жим со вто­рым не­ра­вен­ством. По­лу­ча­ем:

Зна­чит, ми­ни­маль­ное число пе­ре­во­зок боль­ше 25.

При­ведём при­мер, при ко­то­ром можно пе­ре­вез­ти все блоки за 26 пе­ре­во­зок: если 25 пе­ре­во­зок будут осу­ществ­ле­ны вто­рым спо­со­бом, то будут пе­ре­ве­зе­ны все 500 ма­лень­ких бло­ков и 25 боль­ших бло­ков, и на 26-⁠ю пе­ре­воз­ку оста­нет­ся толь­ко один боль­шой блок.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом ко­ор­ди­нат в точке, где на­хо­дит­ся ме­тео­стан­ция, ось абс­цисс на­пра­вим на во­сток, ось ор­ди­нат  — на север. Тогда в мо­мент пер­во­го из­ме­ре­ния эпи­центр цик­ло­на на­хо­дил­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми а во время вто­ро­го из­ме­ре­ния  — в точке с ко­ор­ди­на­та­ми По усло­вию, эпи­центр дви­га­ет­ся пря­мо­ли­ней­но. Пусть эта пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем Найдём ко­эф­фи­ци­ен­ты k и b в урав­не­нии этой пря­мой:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние пря­мой или Тогда наи­мень­шее рас­сто­я­ние, на ко­то­рое эпи­центр цик­ло­на при­бли­зит­ся к ме­тео­стан­ции, будет равно рас­сто­я­нию от точки до пря­мой

Ответ: км.

Ре­ше­ние. За­ме­ним мыс­лен­но каж­дую де­таль типа В двумя де­та­ля­ми типа A, время ра­бо­ты от этого не из­ме­нит­ся. По­лу­чим, что пер­вая бри­га­да ра­бо­чих долж­на из­го­то­вить 1005 де­та­лей типа типа A, а вто­рая бри­га­да долж­на из­го­то­вить 4020 де­та­лей типа A, то есть в 4 раза боль­ше. Зна­чит, ко­ли­че­ство ра­бо­чих в бри­га­дах не­об­хо­ди­мо раз­де­лить в со­от­но­ше­нии 1 : 4. По­это­му в пер­вой бри­га­де долж­но быть 193 : 5 = 38,6 чел., а во вто­рой  — в 4 раза боль­ше, то есть 154,4 чел.

Дроб­ное число ра­бо­чих из­го­тав­ли­вать де­та­ли не может, по­это­му най­ден­ные зна­че­ния не­об­хо­ди­мо округ­лить. Если в пер­вой бри­га­де будет 38 ра­бо­чих, а во вто­рой  — 154 ра­бо­чих (в 4,05 раза боль­ше), то пер­вая бри­га­да за­кон­чит ра­бо­ту позже вто­рой. Если же в пер­вой бри­га­де будет 39 ра­бо­чих, а во вто­рой 153 ра­бо­чих (в 3,92 раза боль­ше), то вто­рая бри­га­да за­кон­чит позже пер­вой. Для каж­до­го из этих слу­ча­ев оце­ним время вы­пол­не­ния за­ка­за. Дру­гие ва­ри­ан­ты раз­би­е­ния ра­бо­чих по бри­га­дам (37 на 155 чел., 40 на 152 чел. и т. д.) не могут дать мень­ше­го вре­ме­ни, по срав­не­нию с пер­вы­ми двумя, по­сколь­ку чем даль­ше от­но­ше­ние числа ра­бо­чих в бри­га­дах от со­от­но­ше­ния 1 : 4, тем доль­ше будет ра­бо­тать более мед­лен­ная из бри­гад, в то время как уже за­кон­чив­шая свою часть за­ка­за бри­га­да будет про­ста­и­вать.

Пусть одна де­таль де­ла­ет­ся ра­бо­чим за 1 еди­ни­цу вре­ме­ни; не огра­ни­чи­вая общ­но­сти, по­ло­жим эту еди­ни­цу рав­ной 1 ми­ну­те. Тогда бри­га­да из 38 че­ло­век на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей за­тра­тит а бри­га­да из 154 че­ло­век за­тра­тит на из­го­тов­ле­ние 2010 де­та­лей В этом слу­чае заказ будет за­кон­чен боль­ше чем за 26,4 мин. Если же в пер­вой бри­га­де 39 чел., то на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей они за­тра­тят в то время как вто­рая бри­га­да из 153 че­ло­век за­тра­тит на из­го­тов­ле­ние 2010 де­та­лей В этом слу­чае заказ будет за­кон­чен мень­ше чем за 26,3 мин. Зна­чит, в пер­вой бри­га­де долж­но быть 39 ра­бо­чих, а во вто­рой бри­га­де  — 153 ра­бо­чих.

Ответ: 39 и 153.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча из ва­ри­ан­та Алек­сандра Ла­ри­на впер­вые пред­ла­га­лась аби­ту­ри­ен­там эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ в 1992 году под но­ме­ром 3 из шести задач в ва­ри­ан­те. Ав­тор­ское ре­ше­ние ана­ло­гич­ной за­да­чи мы при­ве­ли в за­да­че 632165.

Ре­ше­ние. Будем счи­тать, что для сме­ши­ва­ния ис­поль­зо­ва­ли a кг рас­тво­ра X, b кг рас­тво­ра Y и c кг рас­тво­ра Z. Тогда для ве­ще­ства A имеем:

Пусть тогда где, с уче­том не­от­ри­ца­тель­но­сти масс,

Для ве­ще­ства B по­лу­ча­ем:

Под­ста­вив и по­лу­чим функ­цию

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая, зна­чит, при­ни­ма­ет своё наи­мень­шее зна­че­ние при наи­боль­шем зна­че­нии ар­гу­мен­та.

Зна­чит, наи­мень­шее воз­мож­ное со­дер­жа­ние ве­ще­ства B в по­лу­чен­ном рас­тво­ре равно 26%. Это до­сти­га­ет­ся если сме­шать 2 пор­ции рас­тво­ра X и 3 пор­ции рас­тво­ра Z, а рас­твор Y не ис­поль­зо­вать.

Ответ: 26%.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Пусть a  — доля рас­тво­ра X, b  — доля рас­тво­ра Y, c  — доля рас­тво­ра Z в смеси, тогда a + b + c  =  1, то есть c  =  1 – a – b. Для кон­цен­тра­ции ве­ще­ства A в смеси имеем

Для кон­цен­тра­ции ω ве­ще­ства B в смеси по­лу­ча­ем

Оче­вид­но, что ми­ни­мум этой функ­ции до­сти­га­ет­ся при b  =  0 и равен ω(0)  =  0,26. За­ме­тим, что при этом a  =  0,4, c  =  0,6.

Ответ: 26%.

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом ком­би­на­те x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 500 – x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Пусть на вто­ром ком­би­на­те y  че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 200 – y че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Всего на двух ком­би­на­тах будет из­го­тов­ле­но 8x + 2y де­та­лей А и 2(500 – x) + 8(200 – y) де­та­лей  B. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия нужна 1  де­таль  A и 3  де­та­ли  В. Чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий, долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

от­ку­да

Ко­ли­че­ство из­де­лий S будет равно ко­ли­че­ству де­та­лей A:

Наи­боль­шее зна­че­ние убы­ва­ю­щей ли­ней­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем воз­мож­ном зна­че­нии y, то есть при y  =  0. При этом x  =  100, а по­то­му на пер­вом ком­би­на­те будет из­го­тов­ле­но 800 де­та­лей А и 400 · 2  =  800 де­та­лей  В, а на вто­ром ком­би­на­те  — толь­ко 1600 де­та­лей  В.

Ответ: 800.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вой бри­га­де будет x ра­бо­чих, тогда во вто­рой бри­га­де ока­жет­ся 192 − x ра­бо­чих. За еди­ни­цу вре­ме­ни каж­дый ра­бо­чий пер­вой бри­га­ды из­го­тав­ли­ва­ет две де­та­ли типа 1, а каж­дый ра­бо­чий вто­рой бри­га­ды  —  одну де­таль типа 2. Тогда время, ко­то­рое за­тра­тит пер­вая бри­га­да на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей типа 1, равно а время, ко­то­рое за­тра­тит вто­рая бри­га­да на из­го­тов­ле­ние 2010 де­та­лей типа 2, равно Найдём при каком зна­че­нии x, время ра­бо­ты обеих бри­гад ока­жет­ся оди­на­ко­вым. Для этого решим урав­не­ние:

С уве­ли­че­ни­ем зна­че­ния x время ра­бо­ты пер­вой бри­га­ды будет умень­шать­ся, а время ра­бо­ты вто­рой  —  уве­ли­чи­вать­ся. Зна­чит, ми­ни­маль­ное время из­го­тов­ле­ния за­ка­за двумя бри­га­да­ми будет, если или Вы­чис­лим время вы­пол­не­ния за­ка­за для двух этих слу­ча­ев:

Число ра­бо­чих в пер­вой бри­га­де	Время ра­бо­ты пер­вой бри­га­ды, ед. вре­ме­ни	Время ра­бо­ты вто­рой бри­га­ды, ед. вре­ме­ни	Время вы­пол­не­ния за­ка­за, ед. вре­ме­ни
38
39

За­ме­тим, что

зна­чит, при время вы­пол­не­ния за­ка­за будет наи­мень­шим. Таким об­ра­зом, в пер­вой бри­га­де долж­но быть 39 ра­бо­чих, а во вто­рой  —  153 ра­бо­чих.

Ответ: 39 и 153.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва равна x кг, масса вто­ро­го спла­ва  —  y кг, а масса тре­тье­го спла­ва  —  z кг и Тогда в новом спла­ве массы ме­тал­лов будут равны

По усло­вию  кг. Тогда

Масса ме­тал­ла А в новом спла­ве из­вест­на, по­это­му со­дер­жа­ние ме­тал­ла В в спла­ве ми­ни­маль­но при мак­си­маль­ной массе ме­тал­ла С. Для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы наи­боль­шей была раз­ность Оце­ним эту раз­ность:

Раз­ность до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния при Зна­чит, чтобы усло­вия за­да­чи были вы­пол­не­ны, для по­лу­че­ния но­во­го спла­ва нужно ис­поль­зо­вать толь­ко пер­вый и вто­рой спла­вы. По­лу­ча­ем си­сте­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть еже­год­ный объем про­дук­ции, про­из­во­ди­мый ко­опе­ра­ти­вом на мо­мент на­ча­ла 1925 года, равен V, Имеем:

Объем вы­пус­ка про­дук­ции к концу 1925 года был уве­ли­чен на p₁ про­цен­тов, по­это­му он со­ста­вил Vk₁. В на­ча­ле 1926 года не­сколь­ко цехов, до­стиг­ших сум­мар­но к концу преды­ду­ще­го года еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка про­дук­ции, рав­но­го по­ло­ви­не еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции всего ко­опе­ра­ти­ва в на­ча­ле 1925 года, были за­кры­ты на ре­кон­струк­цию, сле­до­ва­тель­но, объем вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции стал равен К концу 1926 года остав­ши­е­ся цеха уве­ли­чи­ли объем вы­пус­ка про­дук­ции на p₂ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом года, сле­до­ва­тель­но, объем вы­пус­ка про­дук­ции со­ста­вил

Най­дем про­из­вод­ную функ­ции

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Функ­ция f(k₁) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние в точке мак­си­му­ма  — от­сю­да

Ответ: 55.

Ре­ше­ние. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия по­дой­дет как де­таль A, так и де­таль B, по­это­му на пер­вом ком­би­на­те ра­ци­о­наль­но про­из­во­дить толь­ко де­та­ли B. В таком слу­чае на пер­вом ком­би­на­те будет со­бра­но де­та­лей за смену. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния t любых де­та­лей по­тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен, сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное число де­та­лей, ко­то­рое по­лу­чит­ся из­го­то­вить, равно целой части числа  то есть 14. Таким об­ра­зом, завод может со­брать за смену из­де­лий.

Ответ: 614.

При­ме­ча­ние.

От­ве­чая на ком­мен­та­рии чи­та­те­лей о вто­ром ком­би­на­те, от­ме­тим сле­ду­ю­щее. Че­ло­ве­ко-смены нель­зя де­лить между ра­бо­чи­ми, то есть нель­зя счи­тать, что каж­дый ра­бо­чий вто­ро­го ком­би­на­та может про­из­ве­сти за смену одну де­таль, и по­то­му за день они вме­сте про­из­ве­дут 200  де­та­лей. По усло­вию для из­го­тов­ле­ния t  де­та­лей тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен, то есть для из­го­тов­ле­ния 200 де­та­лей по­тре­бо­ва­лось бы 40 тысяч че­ло­ве­ко-смен.

Также счи­та­ем оши­боч­ным пред­по­ло­же­ние, что на вто­ром ком­би­на­те можно про­из­ве­сти 10  де­та­лей  А и 10  де­та­лей  В, рас­пре­де­лив их про­из­вод­ство по­по­лам между 200  ра­бо­чи­ми. Для про­из­вод­ства 20 де­та­лей не­об­хо­ди­мо 400 че­ло­ве­ко-смен, а их всего 200. В усло­вии ска­за­но, что не­за­ви­си­мо от типа де­та­лей для из­го­тов­ле­ния t  де­та­лей тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен. Если бы со­ста­ви­те­ли за­да­ния хо­те­ли ска­зать, что из­го­тов­ле­ние каж­до­го типа де­та­лей от­дель­но под­чи­ня­ет­ся квад­ра­тич­ной за­ви­си­мо­сти, они долж­ны были бы на­пи­сать так: «Для из­го­тов­ле­ния t  де­та­лей  А тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен, и для из­го­тов­ле­ния t  де­та­лей  В тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен». Но этих слов в усло­вии нет.

Ре­ше­ние. Пусть a  — ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных мик­ро­ав­то­бу­сов, а b  — ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных гру­зо­ви­ков. По­сколь­ку паром пе­ре­во­зит мик­ро­ав­то­бу­сы и гру­зо­ви­ки при усло­вии пол­ной за­груз­ки, Част­ное ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния  — тогда где k  — целое число. Так как a и b  — на­ту­раль­ные числа, воз­мож­ны толь­ко два зна­че­ния k: тогда или тогда Так как ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на паром мик­ро­ав­то­бу­сов со­став­ля­ет не более 70% от ко­ли­че­ства за­гру­жен­ных на паром гру­зо­ви­ков, по­лу­ча­ем, что В таком слу­чае сум­мар­ная сто­и­мость всех мик­ро­ав­то­бу­сов и гру­зо­ви­ков, пе­ре­во­зи­мых па­ро­мом, равна тысяч услов­ных еди­ниц.

Ответ: 66 тысяч услов­ных еди­ниц.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя дан­ные в усло­вии фор­му­лы, вы­ра­зим вы­де­ля­е­мую теп­ло­вую мощ­ность через ЭДС и со­про­тив­ле­ние: Под­ста­вив за­дан­ные зна­че­ния ε и r, по­лу­чим функ­цию Найдём про­из­вод­ную этой функ­ции:

Со­про­тив­ле­ние на­груз­ки не может быть от­ри­ца­тель­ным, по­это­му будем рас­смат­ри­вать по­ве­де­ние функ­ции при Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, функ­ция воз­рас­та­ет на от­рез­ке и убы­ва­ет на луче Таким об­ра­зом, функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке 1. Наи­боль­шая теп­ло­вая мощ­ность, ко­то­рая может вы­де­лять­ся на­груз­кой, равна 625 Вт.

Ответ: 625 Вт.

При­ме­ча­ния Дмит­рия Гу­щи­на.

1.  Зна­ю­щий фи­зи­ку чи­та­тель решит эту за­да­чу проще: мак­си­маль­ная теп­ло­вая мощ­ность вы­де­ля­ет­ся, если со­про­тив­ле­ние на­груз­ки равно внут­рен­не­му со­про­тив­ле­нию ис­точ­ни­ка. При под­став­ляя ве­ли­чи­ну ЭДС из усло­вия, на­хо­дим:

Без до­ка­за­тель­ства этот факт при­во­дит­ся, на­при­мер, в учеб­ни­ке фи­зи­ки для 11 клас­са А. В. Гра­че­ва. До­ка­жем ниже.

2.  Решим за­да­чу в общем виде. В вы­ра­же­нии для мощ­но­сти раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на R, по­лу­чим:

Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби по­ло­жи­тель­ны, а тогда при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии чис­ли­те­ля, наи­боль­шее зна­че­ние дроби до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем зна­че­нии зна­ме­на­те­ля. Ис­поль­зуя не­ра­вен­ство о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем гео­мет­ри­че­ском, по­лу­ча­ем оцен­ку:

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, если то есть при Таким об­ра­зом, наи­боль­шая теп­ло­вая мощ­ность равна

3.  Для ин­те­ре­су­ю­щих­ся чи­та­те­лей от­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия ис­точ­ни­ка при со­став­ля­ет всего 50%, то есть по­ло­ви­на мощ­но­сти те­ря­ет­ся. По­это­му на прак­ти­ке со­гла­со­ва­ние ис­поль­зу­ют толь­ко цепях, где мощ­ность сиг­на­ла важ­нее эко­но­мии энер­гии: в сла­бо­точ­ных ра­дио­тех­ни­че­ских цепях, аку­сти­че­ских си­сте­мах, ра­дио­свя­зи, на те­ле­баш­нях. В таких устрой­ствах по­те­ри в виде тепла на пе­ре­дат­чи­ке  — это плата за мощ­ность сиг­на­ла.

Од­на­ко вовсе не редко по­сту­па­ют на­о­бо­рот. В мощ­ных ис­точ­ни­ках, на­при­мер, в ге­не­ра­то­рах элек­тро­стан­ций, на ли­ни­ях элек­тро­пе­ре­дач, в лам­пах на­ка­ли­ва­ния, за­ряд­ках для те­ле­фо­нов и но­ут­бу­ков внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ис­точ­ни­ка де­ла­ют как можно более малым, чтобы со­про­тив­ле­ние на­груз­ки было много боль­ше внут­рен­не­го со­про­тив­ле­ния ис­точ­ни­ка, а по­то­му и КПД был вы­со­ким. В этих слу­ча­ях эко­но­ми­че­ски це­ле­со­об­раз­но от­ка­зать­ся от мак­си­му­ма мощ­но­сти в поль­зу по­вы­ше­ния КПД, чтобы, как об­раз­но ска­за­ла бы ней­ро­сеть, «не греть воз­дух вме­сто того, чтобы кру­тить мотор».

Крат­ко можно было бы ска­зать так: к мак­си­му­му мощ­но­сти стре­мят­ся при пе­ре­да­чи ин­фор­ма­ции, а к наи­боль­ше­му КПД  — при пе­ре­да­че энер­гии.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние ам­пли­ту­ды по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние ве­ли­чин A и A² до­сти­га­ют­ся в одной точке. Пусть до­ста­точ­но ис­сле­до­вать на экс­тре­мум функ­цию где

Зна­ме­на­тель при по­ло­жи­те­лен. Найдём про­из­вод­ную:

от­ку­да после пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

На об­ла­сти опре­де­ле­ния со­мно­жи­тель и зна­ме­на­тель по­ло­жи­тель­ны, по­это­му про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль толь­ко если от­ку­да По усло­вию, а по­то­му при при по­это­му точка x₀  — точка мак­си­му­ма функ­ции f. Сле­до­ва­тель­но, ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля будет наи­боль­шей, если

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби по­ло­жи­тель­ны, по­это­му при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии чис­ли­те­ля дробь до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния при наи­мень­шем зна­ме­на­те­ле. Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние в зна­ме­на­те­ле пред­став­ля­ет собой сумму по­ло­жи­тель­но­го числа и не­от­ри­ца­тель­но­го вы­ра­же­ния. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шая сила тока до­сти­га­ет­ся, если это воз­мож­но при и тогда

Ответ: 5 А.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Из курса фи­зи­ки из­вест­но, что наи­боль­шая сила тока до­сти­га­ет­ся при ре­зо­нан­се, то есть в слу­чае, когда и при этом

За­од­но от­ме­тим, что ре­зо­нанс­ное зна­че­ние цик­ли­че­ской ча­сто­ты равно