PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На рисунке изображен график
— производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.
Ответ: 14.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
Ответ: 4.
Примечание.
Напомним, что «целые точки» — это точки с целыми абсциссами. Значение функции в этих точках может быть не целым числом.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
Ответ: 44.
На рисунке изображён график
— производной функции 
определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция 
принимает наибольшее значение?
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
На заданном отрезке производная функции неположительна, функция на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
Ответ: −3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Решение. На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −7.
Ответ: −7.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.
Ответ: 1.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13; 1].
Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−13; 1] функция имеет одну точку минимума x = −9.
Ответ: 1.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Таким образом, на отрезке [−10; 10] функция имеет
Ответ: 5.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Поэтому промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неположительна, то есть отрезку [−2,5; 6,5]. Данный отрезок содержит следующие целые точки: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, сумма которых равна 18.
Ответ: 18.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Поэтому промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−11; −10], [−7; −1] и [2; 3). Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого равна 6.
Ответ: 6.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Производная функции неположительна на отрезках [−1; 5] и [7; 11]. Значит, функция убывает на отрезке [−1; 5] длиной 6 и на отрезке [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них равна 6.
Ответ: 6.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Решение. Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно,
Ответ: 4.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Решение. Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −2; −1; 1; 4 и 6. Производная равна нулю в 5 точках.
Ответ: 5.
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках x4, x5, x6. Таких точек 3.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график — производной функции — и восемь точек на оси абсцисс: 
В скольких из этих точек функция убывает?
Решение. Убыванию дифференцируемой функции соответствуют неположительные значения её производной. Производная неположительна в точках 
: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 5.
Ответ: 5.
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
Ответ: 4.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение. Две из отмеченных точек являются точками экстремума функции f(x). Это точки x3 и x6 (выделены красным). В них производная функции f(x) равна нулю.
В точках x1, x2, x7 и x8 функция f(x) возрастает (выделены синим). В этих четырёх точках производная функции f(x) положительна.
В точках x4, x5 и x9 функция f(x) убывает (выделены зеленым). В этих трёх точках производная функции f(x) отрицательна.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции
— производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.
Ответ: 9.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение. Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки x3, x4, x7 — всего
Ответ: 3.
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Решение. Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].
Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).
Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в
Ответ: 3.
Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).
Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.
Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.
Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.
Примечание Александра Ларина (Москва).
В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.
Функция
определена на промежутке 
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Решение. Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции.
Ответ: −2.
На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: 
В скольких из этих точек производная функции положительна?
Решение. Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция 
возрастает. На них лежат точки 
Таких точек 5.
Ответ: 5.
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: 
В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение. Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки 
Таких точек 7.
Ответ: 7.
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках
Ответ: −2.
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на
на отрезке [0; 8].
Решение. Нулям производной соответствуют касательные, параллельные оси абсцисс. На отрезке [0; 8] горизонтальные касательные к графику можно провести через 3 точки, это точки с абсциссами 1, 4 и 6.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции
определенной на интервале (−8; 3). Сколько из отмеченных точек 
принадлежат промежуткам убывания функции?
Решение. Точки 
принадлежат промежуткам убывания функции. Таких точек 4.
Ответ: 4.
На рисунке изображён график функции 
Найдите количество точек максимума функции 
принадлежащих интервалу (−4; 7).
Решение. Точки максимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт возрастать и начинает убывать. На интервале (−4; 7) функция имеет четыре точки максимума.
Ответ: 4.
На рисунке изображён график функции Найдите количество точек минимума функции принадлежащих интервалу (−4; 7).
Решение. Точки минимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт убывать и начинает возрастать. На интервале (−4; 7) функция имеет пять точек минимума.
Ответ: 5.
На рисунке изображён график функции
— производной функции определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции
Решение. Точке минимума соответствует изменение знака производной с минуса на плюс. Поэтому 
Ответ: 4.
Функция определена и непрерывна на отрезке 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть полуинтервалам (−6; −5,2] и [1,7; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на отрезках [−6; −5,2] и [1,7; 5]. Данные промежутки содержат целые точки −6, 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 8.
Ответ: 8.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке 
и монотонна на интервале 
то функция монотонна на всем отрезке 
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке 
и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на 
Функция
определена и непрерывна на интервале 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.
График одной из функций, соответствующих условию, представлен на рисунке.
Ответ: 3.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами 551782 и 551783 и обратить внимание на границы промежутка задания функции.
Функция
определена и непрерывна на отрезке 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть полуинтервалам (−5; −3,5] и [3,5; 6). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезках [−5; −3,5] и [3,5; 6]. Данные промежутки содержат целые точки −5, −4, 4, 5 и 6. Их сумма равна 6.
Ответ: 6.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
Функция
определена и непрерывна на полуинтервале 
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть интервалу (−4; −1). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезке [−4; −1]. Данный промежуток содержит целые точки −4, −3, −2 и −1. Их сумма равна −10.
Ответ: −10.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами 551780 и 551783 и обратить внимание на границы промежутка задания функции.
Функция
определена и непрерывна на полуинтервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалу (−1; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на полуинтервале [−1; 5). Данный промежуток содержит целые точки −1, 0, 1, 2, 3 и 4. Их сумма равна 9.
Ответ: 9.
Примечание.
Включение в промежуток точки 
не является ошибкой.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на интервале то функция монотонна на всем отрезке
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна, следовательно, она возрастает на
Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами 551780 и 551782 и обратить внимание на границы промежутка задания функции.
На рисунке изображён график функции
определённой на интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Из графика видно, что функция убывает на следующих отрезках: [−8; −7], [−6; −4], [−3; 0] и [1; 2]. Наибольший из этих отрезков — [−3; 0], его длина равна 3.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
Сколько из отмеченных точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
Решение. Точки x1, x2, x3 принадлежат промежуткам возрастания функции. Таких точек 3.
Ответ: 3.
На рисунке изображён график функции
— производной функции определенной на интервале (−3; 8). Найдите точку максимума функции f(x).
Решение. Точке максимума соответствует изменение знака производной с плюса на минус. Поэтому 
Ответ: 7.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на
Решение. Производная оборачивается в нуль в точках экстремума, в которых касательная параллельна оси абсцисс. На отрезке [0; 8] всего три таких точки (отмечены синим).
Ответ: 3.
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале (−3; 11). Найдите количество решений уравнения 
на отрезке [4; 9].
Решение. Производная оборачивается в нуль в точках экстремума, в которых касательная параллельна оси абсцисс. На отрезке [4; 9] всего три таких точки (отмечены синим).
Ответ: 3.
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 6429 | 14 |
| 2 | 27487 | 4 |
| 3 | 27490 | 44 |
| 4 | 27491 | -3 |
| 5 | 27492 | -7 |
| 6 | 27494 | 1 |
| 7 | 27495 | 1 |
| 8 | 27496 | 5 |
| 9 | 27498 | 18 |
| 10 | 27499 | 6 |
| 11 | 27500 | 6 |
| 12 | 27502 | 4 |
| 13 | 119971 | 5 |
| 14 | 317541 | 3 |
| 15 | 317542 | 5 |
| 16 | 317544 | 4 |
| 17 | 500248 | 3 |
| 18 | 501188 | 9 |
| 19 | 502067 | 3 |
| 20 | 505119 | 3 |
| 21 | 508310 | -2 |
| 22 | 317539 | 5 |
| 23 | 317540 | 7 |
| 24 | 317543 | -2 |
| 25 | 508348 | 3 |
| 26 | 516374 | 4 |
| 27 | 523369 | 4 |
| 28 | 523394 | 5 |
| 29 | 526007 | 4 |
| 30 | 551737 | 8 |
| 31 | 551780 | 3 |
| 32 | 551781 | 6 |
| 33 | 551782 | -10 |
| 34 | 551783 | 9 |
| 35 | 628235 | 3 |
| 36 | 647130 | 3 |
| 37 | 656609 | 7 |
| 38 | 661019 | 3 |
| 39 | 672746 | 3 |