В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а)  До­ка­жи­те, что угол ABK равен углу ANK.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что и ∠KMN  =  45°.

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опи­са­на окруж­ность с цен­тром O. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что BAC + AKC  =  90°.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка OBKC, если а

Около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окруж­ность. Через точку C про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCK  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCK, если

Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к ги­по­те­ну­зе пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CAN = ∠CMN.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ANB и CBM, если

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ве­ли­чи­на угла AOC со­став­ля­ет 120°.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если а

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC Вы­со­ты BN и CM тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка  O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь если

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120°. Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120° . Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если BC  =  3,

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C впи­сан в окруж­ность. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке A₁, бис­сек­три­са угла  B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке B₁, бис­сек­три­са угла  C пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке C₁.

a) До­ка­жи­те, что угол A₁BB₁  =  45°.

б)  Из­вест­но, что Най­ди­те B₁C₁.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­ли вы­со­ты АН₁ и СН₂, затем про­ве­ли луч НМ, ко­то­рый пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС, в точке К, где М  — се­ре­ди­на АС, а Н  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что НМ  =  МК.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВСК, если AC  =  1.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC до сто­ро­ны BC, если B₁C₁  =  12 и

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке D. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ACD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CDE рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE, если AB  =  8, BC  =  7, AC  =  6.

На окруж­но­сти с цен­тром O и диа­мет­ром MN, рав­ным 34, взята точка K на рас­сто­я­нии 15 от этого диа­мет­ра. Хорда KE пе­ре­се­ка­ет ра­ди­ус OM в точке F под углом, рав­ным

а)  До­ка­жи­те, что KF : FE  =  125 : 29.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KEN.

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. От­ре­зок AP  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая HP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в его се­ре­ди­не.

б)  Луч PH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC, в точке M. Най­ди­те длину от­рез­ка MC₁, если рас­сто­я­ние от цен­тра этой окруж­но­сти до пря­мой BC равно 4, ∠BPH  =  120°.

В тре­уголь­ни­ке KLM бис­сек­три­сы внеш­них углов при вер­ши­нах K и M пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Через точки K, N и M про­ве­де­на окруж­ность с цен­тром в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что точки K, L, M и O лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMO равна а угол KLM равен 120°.

Вы­со­та BH тре­уголь­ни­ка ABC в раз боль­ше ра­ди­у­са опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти с цен­тром O.

а)  До­ка­зать, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точки K и M  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки H на сто­ро­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но, про­хо­дит через точку O.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти, если AB  =  6,

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая AH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что дуги BC и DA равны.

б)  Най­ди­те BC, если AC  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDH равна 9.

Дан тре­уголь­ник АВС. Точка О  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. На сто­ро­не ВС от­ме­че­на такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и ОM па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка АВMО, если угол AСB пря­мой и АС  =  4.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­дол­же­ния вы­со­ты CC₁ и бис­сек­три­сы BB₁ пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную окруж­ность в точ­ках N и М со­от­вет­ствен­но, и

а)  До­ка­жи­те, что ВM   =   CN.

б)  Пря­мые BC и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDN, если его вы­со­та ВН равна 6.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C ост­рый, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая АН пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AC, если CB  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка CAD равна 12.

Ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность ω. Точки O₁ и O₂  — цен­тры внев­пи­сан­ных окруж­но­стей ω₁ и ω₂, ка­са­ю­щих­ся от­рез­ков АВ и АС со­от­вет­ствен­но. Точка М  — се­ре­ди­на боль­шей дуги ВС окруж­но­сти ω.

а)  До­ка­жи­те, что точка М лежит на пря­мой O₁O₂.

б)  На бис­сек­три­се угла ВАС вы­бра­на точка К такая, что Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ВКС, если сумма ра­ди­у­сов окруж­но­стей ω₁ и ω₂ равна и

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом С про­дол­же­ние бис­сек­три­сы СK этого тре­уголь­ни­ка (точка К лежит на ги­по­те­ну­зе AB) пе­ре­се­ка­ет его опи­сан­ную окруж­ность в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы AB, пе­ре­се­ка­ет вто­рич­но опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка АBC в точке М и пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая МK яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ВМР.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка МКР, если AC  =  3 и BC  =  4.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС от­ме­че­ны: H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, A₁  — се­ре­ди­на BC. Луч A₁H пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точке D, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что OH пер­пен­ди­ку­ляр­на DA₁.

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что опи­сан­ная окруж­ность около тре­уголь­ни­ка ОНА₁ ка­са­ет­ся АН. Най­ди­те угол между пря­мы­ми AA₁ и BC.

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, до сто­ро­ны BC, если B₁C₁  =  6 и

Тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в точке С пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла АВС в точке K, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Из­вест­но, что а сумма рас­сто­я­ний от цен­тра окруж­но­сти O до сто­рон AC и BC равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС.

От­ре­зок BL  — диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, где Про­дол­же­ние вы­со­ты ВТ тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ML, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 

Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC в два раза боль­ше сто­ро­ны AB. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке P. Из­вест­но, что BC  =  6, LP  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и BP па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Во­круг тре­уголь­ни­ка AOC опи­са­на окруж­ность, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AB, если BC  =  6 и AC  =  4.