Всего: 819 … 101–120 | 121–140 | 141–160 | 161–180 | 181–200 | 201–220 | 221–240 | 241–260 …
Добавить в вариант
На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.
В плоскости грани ABB1A1 продолжим прямую BE до пересечения с прямой A1B1, в плоскости грани BB1С1С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B1C1. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A1B1C1D1. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A1D1 и D1C1 соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.
Далее, треугольники PA1M и PB1S подобны по 2-м углам, откуда получим: 
и прямоугольных пирамид 
и 
(так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):
Две окружности с центрами O и Q пересекаются друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причем площади треугольников OAE и QAE равны соответственно 18 и 42.
а) Докажите, что треугольники AQO и BDC подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.
Вписанный угол BDA опирается на ту же дугу BA, что и центральный угол AQB. Тогда 
Далее, в меньшей окружности с центром O рассмотрим центральный угол 
изображенный синим на рисунке, который опирается на бОльшую дугу AB. На эту же дугу опирается вписанный угол 
который в 2 раза меньше центрального. Тогда:
так как треугольник AQD равнобедренный; 
как вертикальные
Отсюда следует, что
Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
Найдем теперь объем одной из частей, выразив его через объем всей пирамиды:
На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD, AB = 12, BE : EC = 4 : 5.
а) Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABE.
б) Найдите BC.
поэтому четырехугольник AECD — вписанная трапеция, следовательно, углы ADC и EAD равны, также 
из параллельности. Таким образом, 
и 
следовательно, треугольники ACD и ABE подобны по двум углам. Что требовалось доказать.
а значит, BA — касательная к окружности AECD. Тогда 
Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.
за 
соответственно. Продолжим прямую FM до пересечения с прямой BD в точке 
откуда 
откуда 
поскольку середина AB лежит в плоскости FNE:
и 
В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2, а площадь треугольника ABE равна 8.
а) Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T.
а) Докажите, что TR || AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT = 6.
), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 
Так как 
и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC. 
(как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной 
и углом А, равным 
На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.
равнобедренный, 
то 
Значит, 
или
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.
— равносторонний (так как все углы по 
), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
В пирамиде SABC ребра SC, BC, и AC равны соответственно 
3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 
Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC и центр окружности, вписанной в этот треугольник.
и точку O1 — точку пересечения медиан треугольника, 
R — радиус окружности, описанной около 
по теореме синусов имеем: 
Далее: 
Пусть 
тогда: 
(не подходит). Итак, AB = 2. Поскольку AB в 2 раза меньше, чем АС, то в соответствии с теоремой синусов 
проведенную к стороне BC: 
коэффициент подобия 
Отсюда:
Следовательно, 
Тогда по теореме Пифагора будем иметь: 
по теореме косинусов:
— тупоугольный. Для этого достаточно доказать, что 
проведенную к продолжению стороны MN. Пусть E — основание высоты, SE = h, NE = x.
Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D, грани которой ABD и ACD — прямоугольные треугольники, ребро AD перпендикулярно медиане основания АК и AD = AK. Сечение пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобочная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3GC. Найти отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
поэтому один из углов DAB или DAC — тупой. Но тогда один из треугольников ABD или ACD не может быть прямоугольным, что противоречит условию. Следовательно, AD перпендикулярно ABC.
— проекции точек E и F на плоскость основания пирамиды. Тогда: 
т. к. трапеция равнобедренная, тогда 
и 
— равнобедренная трапеция. Тогда 
тогда площадь треугольника BDC равна
EN — высота трапеции EFGH, тогда прямая 
перпендикулярна прямой HG и прямая 
Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны 
Точки M и N — середины отрезков АС и AB. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду SАMN.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна 
Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.
Проведем в гранях ABS и ADS отрезки EK и FM, параллельные 
Отметим также точку T, для которой 
Докажем, что она лежит в плоскости сечения. Тогда искомое сечение - пятиугольник 
поэтому их медианы относятся так же. Значит, 
откуда треугольники ASC и UTC подобны (по двум сторонам) и, значит, 
откуда и следует нужное утверждение. (AU действительно медиана, поскольку 
), то есть AU составляет со стороной такой же угол, какой в подобном треугольнике составляет медиана.)
Отметим середину SC -- точку 
Тогда 
как средняя линия. Заметим, что треугольник SCD равносторонний, поэтому 
и 
Найдем его угол.
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
откуда 
откуда 
В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.
которая также служит медианой и высотой 
— площадь сферы (площадь поверхности шара); 
— полная поверхность конуса; 
— объем шара; 
— объем конуса.
Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. 
Отсюда: 
т. е. 
Значит, 
Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.
а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.
б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.
Отметим на продолжении луча KC за точку C произвольную точку L. Тогда треугольник ACD также равнобедренный, в нем медиана совпадает с высотой. Значит, 
тогда и соответствующие дуги равны. Тогда 
поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AD, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC.
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых KB и CD (они обе перпендикулярны AB) секущей KL. Кроме того KO — биссектриса угла BKC, потому что проходит через центр окружности, а стороны угла — касательные из одной точки. Поэтому 
откуда прямоугольные треугольники BKO и ECA подобны по двум углам.
Из треугольника OEC находим 
Тогда 
откуда 
В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB = 60°.
(опираются на дугу BC), 
(как вертикальные), отсюда 
то есть треугольник DEM равнобедренный. Далее 
поэтому треугольник EMC тоже равнобедренный. Итак, 
значит, EM — медиана CDE.
и поэтому в треугольнике EAB имеем 
Тогда 
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB.
б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11.
четырехугольник AODE — вписанный. Значит, 
(как хорды, стягивающие равные дуги в его описанной окружности. Равенство дуг следует из равенства углов AOE и DOE).
так, чтобы 
Тогда 
тогда треугольники 
и CBE равны по углам и одной стороне (сторона BE у них общая).
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.
а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.
б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.
То есть это одна и та же окружность. Значит, все четыре точки лежат на одной окружности.
По усиленной теореме синусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
и 
Сфера с центром в точке O вписана в прямоугольный параллелепипед 
Найдите угол между прямыми 
и BK, где K — середина 
Он равен углу между прямыми 
и 
ось x направим по BA, ось y – по BC, ось z — по 
Найдем координаты векторов 
и 
— искомый угол.
При этом 
Тогда 
— искомый.
— равнобедренный: 
В таком случае OE — медиана и высота этого треугольника. В прямоугольном треугольнике DAE 
