В таб­ли­це по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X. Най­ди­те   — ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

В таб­ли­це по­ка­за­но ко­ли­че­ство би­ле­тов и воз­мож­ные вы­иг­ры­ши бес­про­иг­рыш­ной де­неж­ной ло­те­реи. Цена би­ле­та ло­те­реи равна 50 руб­лей. Всего би­ле­тов вы­пу­ще­но 1000 штук. Участ­ник по­ку­па­ет один слу­чай­ный билет. На сколь­ко руб­лей цена би­ле­та выше, чем ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние вы­иг­ры­ша?

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,2. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,6. Счи­тая эти со­бы­тия не­за­ви­си­мы­ми, най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа ав­то­ма­тов, в ко­то­рых к ве­че­ру за­кон­чит­ся кофе.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,8. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,3. Счи­тая эти со­бы­тия не­за­ви­си­мы­ми, най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа ав­то­ма­тов, в ко­то­рых к ве­че­ру оста­нет­ся кофе.

Мо­не­ту под­бра­сы­ва­ют до тех пор, пока орёл не вы­па­дет два раза (не обя­за­тель­но под­ряд). Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа брос­ков.

Мо­не­ту под­бра­сы­ва­ют 6 раз. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ют до тех пор, пока ше­стер­ка не вы­па­дет два раза, не обя­за­тель­но под­ряд. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

В кин­дер-сюр­при­зах встре­ча­ют­ся иг­руш­ки из кол­лек­ции бе­ге­мо­тов. Всего в кол­лек­ции 12 раз­лич­ных бе­ге­мо­тов, при­чем все они встре­ча­ют­ся в кин­дер-сюр­при­зах оди­на­ко­во часто. Среди них есть бе­ге­мот в кепке. Пер­во­класс­ник по­ку­па­ет кин­дер-сюр­при­зы, а иг­руш­ки из них кла­дет в ящик стола. Сколь­ко будет куп­ле­но кин­дер-сюр­при­зов к мо­мен­ту, когда в столе ока­жут­ся два оди­на­ко­вых бе­ге­мо­та в кепке? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ням. По каж­дой он стре­ля­ет до тех пор, пока не по­ра­зит её. При каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет в ми­шень с ве­ро­ят­но­стью 0,05. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся вы­стре­лов, чтобы по­ра­зить две ми­ше­ни? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют до тех пор, пока решка и орёл не вы­па­дут хотя бы по од­но­му разу. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

Пра­виль­ную иг­раль­ную кость бро­са­ют до тех пор, пока грани с 1, 2, 3 и 4 оч­ка­ми не вы­па­дут хотя бы по од­но­му разу. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

Про слу­чай­ную ве­ли­чи­ну X из­вест­но, что E(X)  =  4 и D(X)  =  10. Най­ди­те оцен­ку ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия « или », ко­то­рую дает не­ра­вен­ство Че­бы­ше­ва.

При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков с но­ми­наль­ным внеш­ним диа­мет­ром 32 мм стан­дарт­ное от­кло­не­ние внеш­не­го диа­мет­ра равно 0,004 мм. При по­мо­щи не­ра­вен­ства Чебышёва най­ди­те верх­нюю оцен­ку ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «диа­метр слу­чай­но вы­бран­но­го под­шип­ни­ка от­ли­ча­ет­ся от сред­не­го зна­че­ния более чем на 0,008 мм».

Сред­няя длина нити в мотке пряжи равна 600 м, а стан­дарт­ное от­кло­не­ние равно 30 м. При по­мо­щи не­ра­вен­ства Че­бы­ше­ва най­ди­те верх­нюю оцен­ку ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «длина нити в слу­чай­но вы­бран­ном мотке от­ли­ча­ет­ся от сред­ней более чем на 50 м».

Сред­няя масса упа­ков­ки на­пол­ни­те­ля для иг­ру­шек равна 1500 г, а стан­дарт­ное от­кло­не­ние равно 40 г. При по­мо­щи не­ра­вен­ства Че­бы­ше­ва най­ди­те верх­нюю оцен­ку ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «масса на­пол­ни­те­ля в слу­чай­но вы­бран­ной упа­ков­ке от­кло­ня­ет­ся от сред­ней более чем на 100 г».

Сто­ро­на квад­рат­ной ке­ра­ми­че­ской плит­ки равна 30 см, а стан­дарт­ное от­кло­не­ние равно 0,6 мм. При по­мо­щи не­ра­вен­ства Че­бы­ше­ва най­ди­те верх­нюю оцен­ку ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «сто­ро­на слу­чай­но вы­бран­ной ке­ра­ми­че­ской плит­ки от­ли­ча­ет­ся от сред­ней более чем на 0,75 мм».

Слу­чай­ная вы­бор­ка из не­ко­то­рой ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти со­дер­жит пять зна­че­ний:

По этой вы­бор­ке най­ди­те не­сме­щен­ную оцен­ку дис­пер­сии ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти.

На диа­грам­ме Эй­ле­ра схе­ма­ти­че­ски по­ка­зан слу­чай­ный опыт S, с ко­то­рым свя­за­на слу­чай­ная ве­ли­чи­на X. Около каж­до­го эле­мен­тар­но­го со­бы­тия ука­за­на ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия и со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия

На диа­грам­ме Эй­ле­ра схе­ма­ти­че­ски по­ка­за­ли слу­чай­ный опыт S, с ко­то­рым свя­за­на слу­чай­ная ве­ли­чи­на X. Все эле­мен­тар­ные со­бы­тия рав­но­воз­мож­ны, и около каж­до­го ука­за­но со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия

При вы­бо­роч­ном об­сле­до­ва­нии жи­те­лей го­ро­да Н. шесть из 12 ре­спон­ден­тов от­ве­ти­ли «Да» на во­прос, по­се­ща­ли ли они го­род­ской парк за по­след­ние пол­го­да. Най­ди­те ин­тер­валь­ную оцен­ку доли го­ро­жан, по­се­щав­ших го­род­ской парк за пол­го­да, поль­зу­ясь пра­ви­лом «ча­сто­та плюс-минус 2 стан­дарт­ных от­кло­не­ния». В ответ за­пи­ши­те ниж­нюю гра­ни­цу до­ве­ри­тель­но­го ин­тер­ва­ла. Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

При вы­бо­роч­ном об­сле­до­ва­нии кли­ен­тов сети ав­то­за­пра­воч­ных стан­ций «Ого­нек», 24 из 36 слу­чай­ных ре­спон­ден­тов от­ве­ти­ли «Да» на во­прос, есть ли у них бо­нус­ная карта сети. Най­ди­те ин­тер­валь­ную оцен­ку доли кли­ен­тов, име­ю­щих бо­нус­ную карту, поль­зу­ясь пра­ви­лом «ча­сто­та плюс-⁠минус 2 стан­дарт­ных от­кло­не­ния». В ответ за­пи­ши­те верх­нюю гра­ни­цу до­ве­ри­тель­но­го ин­тер­ва­ла. Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Ор­га­ни­за­то­ры ло­те­реи вы­пу­сти­ли 10 000 би­ле­тов. Вы­иг­ры­ши рас­пре­де­ле­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ве­ли­чи­ны «вы­иг­рыш на один билет». Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те дис­пер­сию слу­чай­ной ве­ли­чи­ны x, если её рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей имеет вид

Слу­чай­ная ве­ли­чи­на X при­ни­ма­ет толь­ко два зна­че­ния: 0 и Най­ди­те a, если из­вест­но, ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние и дис­пер­сия

Слу­чай­ные ве­ли­чи­ны X и Y не­за­ви­си­мы. Найти дис­пер­сию слу­чай­ной ве­ли­чи­ны если из­вест­но, что

Найти дис­пер­сию дис­крет­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X  — числа по­яв­ле­ний со­бы­тия A в пяти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях, если ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния со­бы­тий A в каж­дом ис­пы­та­нии равна 0,2.

Най­ди­те дис­пер­сию дис­крет­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X  — числа по­яв­ле­ний со­бы­тия A в двух не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях, если ве­ро­ят­но­сти по­яв­ле­ния со­бы­тия в этих ис­пы­та­ни­ях оди­на­ко­вы и из­вест­но, что E(X)  =  1,2.

Слу­чай­ная ве­ли­чи­на X при­ни­ма­ет толь­ко два зна­че­ния: 0 и a, где Из­вест­но, что дис­пер­сия Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ве­ли­чи­ны Х.

Слу­чай­ная ве­ли­чи­на X при­ни­ма­ет два раз­лич­ных зна­че­ния: a и Из­вест­но, что ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние Най­ди­те сред­не­квад­ра­тич­ное от­кло­не­ние.

В серии из трех не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний с по­сто­ян­ной ве­ро­ят­но­стью успе­ха p, где сред­не­квад­ра­тич­ное от­кло­не­ние ока­за­лось рав­ным 0,75. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа успе­хов.

Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X, име­ю­щей сле­ду­ю­щее рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей:

Мо­не­ту бро­са­ют 250 раз. Чему равно ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа вы­пав­ших орлов?

Кубик бро­са­ют 300 раз. Чему равно ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа вы­пав­ших еди­ниц?

Бас­кет­бо­лист по­па­да­ет в кор­зи­ну с ве­ро­ят­но­стью 0,6. За игру он сде­лал 47 брос­ков. Чему равно ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа по­па­да­ний?

Сколь­ко раз в сред­нем нужно бро­сить мо­не­ту, чтобы на ней выпал орёл?

Сколь­ко раз нужно в сред­нем бро­сить кубик, чтобы на нём вы­па­ла шестёрка?

Сту­дент сдаёт зачёт по тео­рии ве­ро­ят­но­стей до тех пор, пока не решит какую-⁠ни­будь за­да­чу. Ве­ро­ят­ность ре­ше­ния любой за­да­чи этим сту­ден­том равна 0,2. Сколь­ко задач в сред­нем он по­лу­чит?

Со­цио­ло­ги­че­ская служ­ба пла­ни­ру­ет про­ве­сти опрос из­би­ра­те­лей, чтобы оце­нить долю сто­рон­ни­ков од­но­го из кан­ди­да­тов. Не­об­хо­ди­мо, чтобы с ве­ро­ят­но­стью не менее γ  =  0,95 по­лу­чен­ная ча­сто­та от­кло­ня­лась от ис­тин­ной ве­ро­ят­но­сти p не более чем на δ  =  0,05. Сколь­ко из­би­ра­те­лей не­об­хо­ди­мо опро­сить?