Всего: 819 … 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 | 141–160 | 161–180 | 181–200 | 201–220 …
Добавить в вариант
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что вершины A1 и С равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
тогда получаем:
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы. Таким образом, из прямоугольного треугольника AKB с прямым углом A получаем:
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 3.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
тогда получаем:
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы. Таким образом, из прямоугольного треугольника AKB с прямым углом A получаем:
На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.
следовательно, 
откуда 
проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид 
Для координат точек C и 
имеем систему уравнений:
тогда 
Уравнение плоскости 
вектор нормали к ней 
Тогда искомый угол между прямой 
и плоскостью 
в силу того, что 
и 
значит, плоскость 
следовательно, 
и AK — проекция 
Следовательно, 
— искомый, поскольку это угол между прямой и ее проекцией 
(поскольку 
— диагональ квадрата 
).
Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.
или 
Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.
или 
Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.
а) Докажите, что плоскость CPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTC.
высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 
высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.
и 
откуда
Следовательно,
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 9.
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN : NC = 2 : 1.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.
а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке 
В треугольнике MBD точка P является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру 
— ребру MC), откуда 
Что и требовалось доказать.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12.
а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку С и середину ребра MA параллельно прямой BD, делит ребро MD в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Отрезок CE пересекает плоскость 
в точке 
является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где 
— центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен BD и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MB, G — ребру MD), откуда 
Что и требовалось знать.
— искомое сечение. Отрезок CE — медиана треугольника MAC, значит,
четырёхугольника CFEG перпендикулярны, следовательно,
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 5 и CD = 15.
Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому 
Следовательно, 
По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, 
и 
По теореме Пифагора 
или 
Из этого уравнения находим, что 
Тогда
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
или 
Отсюда находим, что x = 3. Тогда DE = 2х = 6, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
а 
откуда 
Заметим, что 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, 
— прямой. Таким образом, прямые BP и СH параллельны, и четырехугольник CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5. Отрезок AP — диаметр окружности, найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
В прямоугольном треугольнике CHK имеем: 
Тогда 
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABK по теореме синусов
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.
следовательно, 
и CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 7, а AP диаметр окружности. Найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
