Ре­ше­ние. Объём де­та­ли равен объёму вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объём вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 2/⁠25 ис­ход­но­го объёма:

Ответ: 184.

При­ве­дем ре­ше­ние Ге­ор­гия Таксы.

Из фор­му­лы для объ­е­ма приз­мы най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Объём де­та­ли равен объёму вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти:

При­ве­дем ре­ше­ние Ивана Ло­бо­ды.

1.  Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния со­су­да:

2.  Най­дем сум­мар­ный объем воды и де­та­ли:

3.  Раз­ность объ­е­мов воды с де­та­лью и на­чаль­но­го объ­е­ма равна объ­е­му де­та­ли:

Ре­ше­ние. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния на вы­со­ту и вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ос­но­ва­ния а и вы­со­ту Н фор­му­лой По­это­му а зна­чит, при уве­ли­че­нии сто­ро­ны а в 4 раза зна­ме­на­тель уве­ли­чит­ся в 16 раз, то есть вы­со­та умень­шит­ся в 16 раз и будет равна 5 см.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­дей всех ее бо­ко­вых гра­ней:

Ответ: 300.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба a вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и фор­му­лой

Най­дем пло­щадь ромба

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем вывод ис­поль­зу­е­мой в ре­ше­нии фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щей сто­ро­ну ромба a через его диа­го­на­ли d₁ и d₂. Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

от­ку­да

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния a и бо­ко­вое ребро H фор­му­лой Под­ста­вим зна­че­ния a и S:

от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Объем пря­мой приз­мы равен где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — бо­ко­вое ребро. Тогда объем равен

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле При­мем ромб за ос­но­ва­ние, тогда про­ве­ден­ная к нему вы­со­та где L  — длина бо­ко­во­го ребра, α   — угол между бо­ко­вым реб­ром и ос­но­ва­ни­ем (см. рис.). Пло­щадь ромба равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, умно­жен­ной на синус угла ромба. Вы­чис­лим объем:

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та приз­мы оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Таким об­ра­зом, он равен 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды с такой же пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той в 3 раза. Объем остав­шей­ся части со­став­ля­ет тогда две трети ис­ход­но­го, он равен 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна 10, и его пло­щадь Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы с пе­ри­мет­ром ос­но­ва­ния P равна

Пол­ная пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба a вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и как

Пло­щадь ромба равна

Тогда бо­ко­вое ребро най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния равна 10. Пло­щадь ос­но­ва­ния Вы­со­ту най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти :

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пло­щадь каж­дой из бо­ко­вых гра­ней отсечённой приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди со­от­вет­ству­ю­щей бо­ко­вой грани ис­ход­ной приз­мы, зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку вы­со­та куба равна вы­со­те приз­мы, их объ­е­мы про­пор­ци­о­наль­ны пло­ща­дям их ос­но­ва­ний. Пло­щадь ос­но­ва­ния по­стро­ен­ной приз­мы в 8 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­ной, по­это­му ис­ко­мый объем приз­мы равен 12 : 8  =  1,5.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Ис­ко­мый объём мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объёмов приз­мы и пи­ра­ми­ды ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ис­ко­мый объём равен раз­но­сти объ­е­ма приз­мы и двух тре­уголь­ных пи­ра­мид, ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той приз­мы:

По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды такое же, как ос­но­ва­ние пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, и вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Мно­го­гран­ник, объем ко­то­ро­го тре­бу­ет­ся найти, яв­ля­ет­ся пря­мой тре­уголь­ной приз­мой. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии равна пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. Вы­со­той пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся бо­ко­вое ребро, его длина равна 3. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый объем равен

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна двум тре­тьим пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в три раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 9 раз. Сле­до­ва­тель­но, она ста­нет равна 54.

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны зна­чит,

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. От­рез­ки D₁E₁, DE и AB лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми FA и E₁D₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB.

По­сколь­ку угол FAB между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°, смеж­ный с ним угол между пря­мы­ми FA и AB равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку   — куб, каж­дая из его гра­ней яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Диа­го­на­ли этих квад­ра­тов равны, по­это­му Тогда тре­уголь­ник   — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. От­рез­ки A₁A и BB₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁A и BC₁ равен углу между пря­мы­ми BB₁ и BC₁. Бо­ко­вая грань CBB₁C₁  — квад­рат, по­это­му угол между его сто­ро­ной и диа­го­на­лью равен 45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным па­рал­ле­ле­пи­пе­дом, диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны, диа­го­наль­ное се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Углом между пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся не­пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми пря­мы­ми на­зы­ва­ет­ся мень­ший из об­ра­зо­ван­ных ими углов, по­это­му не­об­хо­ди­мо найти ост­рый угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник A₁BC: в нем катет BC вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы A₁C, по­это­му угол A₁CB равен 60°. Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке D₁CB угол D₁BC равен 60°.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка BGC равна 180°, по­сколь­ку два его угла равны 60°, тре­тий угол тоже равен 60°.

Ответ: 60.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что углом между пря­мы­ми на­зы­ва­ет­ся мень­ший из углов, об­ра­зо­ван­ных при их пе­ре­се­че­нии.

Ре­ше­ние. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны се­че­ния яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но сред­ни­ми ли­ни­я­ми тре­уголь­ни­ков, ле­жа­щих в ос­но­ва­нии, и пря­мо­уголь­ни­ков, яв­ля­ю­щих­ся бо­ко­вы­ми гра­ня­ми приз­мы. Таким об­ра­зом, се­че­ние пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1 и 5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль­ное се­че­ние пря­мой приз­мы  — пря­мо­уголь­ник Диа­го­на­ли пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­мы равны: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, для ис­ко­мой пло­ща­ди се­че­ния имеем

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Вы­со­та отсечённой приз­мы равна ребру куба, по­это­му их объёмы от­но­сят­ся как пло­ща­ди ос­но­ва­ний. От­ре­зок FE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка DBC, по­это­му тре­уголь­ни­ки FCE и DCB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 1 : 2, а их пло­ща­ди от­но­сят­ся как 1 : 4. По­сколь­ку квад­ра­та АDCB вдвое боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка DCB, пло­щадь АDCB в 8 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка FCE.

Таким об­ра­зом, объём куба в 8 раз боль­ше объёма отсечённой приз­мы, по­это­му он равен 16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. От­ре­зок A₁D₁ = AD. Тогда синус угла между пря­мы­ми A₁D₁ и AC равен си­ну­су угла

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. В силу па­рал­лель­но­сти пря­мых AB и E₁D₁ угол между FA и E₁D₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB. Угол FAB между смеж­ны­ми сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Зна­чит, угол между пря­мы­ми FA и AB равен углу, смеж­но­му с углом FAB, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем ги­по­те­ну­зу ос­но­ва­ния приз­мы: Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 

Ответ: 240.

Ре­ше­ние. Бо­ко­вые грани ис­ход­ной приз­мы вдвое боль­ше со­от­вет­ству­ю­щих бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы, по­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 74.

Ответ: 74.

Ре­ше­ние. Объем пря­мой приз­мы равен где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — бо­ко­вое ребро. Тогда длина ее бо­ко­во­го ребра равна

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Объем пря­мой приз­мы равен V  =  Sh, где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — бо­ко­вое ребро. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, за­да­ет­ся фор­му­лой

Тогда объем приз­мы равен

Ответ: 4,5.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Вы­со­той пра­виль­ной приз­мы яв­ля­ет­ся ее бо­ко­вое ребро, рав­ное сто­ро­не ос­но­ва­ния. Ос­но­ва­ние приз­мы  — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 13,5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит,

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

От­ре­зок   — боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, ее длина равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му По­сколь­ку имеем:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не: По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

Оста­лось найти диа­го­наль ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка АВС имеем:

По­сколь­ку   — ост­рый, он равен

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, где l  — длина бо­ко­во­го ребра, а   — пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

Ответ: 240.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше со­от­вет­ству­ю­щих пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней ис­ход­ной приз­мы. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а L  — длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с ос­но­ва­ни­ем угол α. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна

Тогда объем приз­мы равен

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку пря­мая CC₁ па­рал­лель­на пря­мой ВВ₁, ис­ко­мый угол равен углу ВВ₁A. Най­дем его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ВВ₁A:

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Таким об­ра­зом, он равен 28.

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Пло­щадь каж­дой из бо­ко­вых гра­ней отсечённой тре­уголь­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди со­от­вет­ству­ю­щей бо­ко­вой грани ис­ход­ной приз­мы, зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 18.

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы равна a, тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы равна 2a. Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы со сто­ро­ной 2a равна Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Объ­е­мы ше­сти­уголь­ной и тре­уголь­ной призм равны, от­ку­да на ис­ко­мую вы­со­ту h по­лу­ча­ем урав­не­ние:

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Пря­мые AA₁ и FF₁ па­рал­лель­ны, по­это­му угол между пря­мы­ми C₁F и AA₁ равен углу между пря­мы­ми C₁F и FF₁. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка вдвое боль­ше длины его сто­ро­ны, сле­до­ва­тель­но, F₁C₁  =  60. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник FF₁C₁:

Ответ: 2.