PDF-версии: 1. Тип 13 № 507644 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Левая часть уравнения имеет смысл при
Поэтому множитель 
положителен. Тогда
б) Корни, принадлежащие отрезку 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 507644
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
принадлежит только корень 
б) 
то есть при 
Числитель дроби должен быть равен нулю:
нужно отбросить. Получаем ответ: 
б) 
или 
б) 
тогда имеем: 
или 
а из уравнения 
получаем 
или 
принадлежат числа 
б) 
б) 
с помощью тригонометрической окружности.
и 
б) 
тогда 
откуда 
или 
б)
б) 
где 
б) 
то 
и поэтому входят в ответ.
принадлежат корни 
и 
б) 
где 
а из второй — две точки: 
и 
б) 
принадлежит только одно число: 
б) 
мы воспользовались приемом, называемым введением вспомогательного угла. Можно было бы использовать известное соотношение 
Третий путь — свести уравнение к однородному неполному тригонометрическому уравнению второй степени, используя формулы двойных углов. А именно:
либо 
Последнее уравнение — однородное тригонометрическое первой степени, оно эквивалентно уравнению 
Осталось решить полученные простейшие уравнения и отбросить корни, не лежащие в ОДЗ.
представлен на рисунке. Уравнению (1) соответствуют точки пересечения зеленой пунктирной прямой и единичной окружности. Условие (2) убирает из решения точки, отмеченные красными крестами. Таким образом, решением системы является 
удовлетворяют только решения 
и 
корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем: 
б) 
получаем 
то 
тогда 
Следовательно, условию 
не удовлетворяют значения переменной, для которых 
одновременно. Поэтому серия 
даёт посторонние корни, а серия 
даёт решения заданного уравнения (см. рис.). Таким образом, 
б) 
находим 
либо 
Если 
то из основного тригонометрического тождества 
то есть 
Если 
то 
В этом случае с учетом условия 
системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения 
Это точка четвертой четверти, и решение уравнения имеет вид 
корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем: 
б) 
справедлива формула 
откуда 
Имеем:
Будем последовательно перебирать отрицательные значения параметра: значению 
соответствуют корни 
и 
значению 
соответствуют корни 
и 
значению 
соответствуют корни 
и 
Меньшим значениям k соответствуют меньшие значения корней; они также не лежат на заданном отрезке. Из вышеперечисленных корней заданному отрезку принадлежат числа 
б)
расщепляется на два уравнения: 
или 
Для данного уравнения получаем: 
или 
Последнее уравнение дает посторонние корни, поскольку если 
то 
получаем 
при 
получаем 
б) 0; π.
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим число 
б) 
откуда 
и, следовательно, 
б) искомых решений нет.
б) 
являются значения 
Все они входят в множество значений 
являющихся решениями уравнения 
Из этого множества необходимо исключить значения 
поэтому в ответ записано несколько серий корней, чтобы ни в одну из серий не попала исключенная точка.
б) 
Преобразуем уравнение при этом условии:
удовлетворяет только 
б) 
и 
то есть при 
При этом условии деление на 
в левой части уравнения эквивалентно умножению на 
и обе части уравнения можно разделить на 
б) 
б) 
б) 
:
откуда 
б) 0, 
не выполнено условие 
При 
находим 
б) 
можно при условии 
Далее получаем:
б) 
равносильно системе 
откуда следует, что 
при условии 
Получаем, что 
б) 
применив формулу приведения 
и формулу разности косинусов. Можно было использовать условие равенства косинусов:
и 
получим:
и угол х лежит в первой четверти, то 
тогда 
что обращает знаменатель в нуль. Если же 
тогда 
что допустимо. Следовательно, решением уравнения является серия 
поэтому левая часть двойного неравенства больше –5π, а правая — меньше –4,5π. Следовательно, число 2πk лежит в интервале (–5π; –4,5π), а значит, 
Найденному значению параметра соответствует корень 
б) 
где 
Упростим ее при этих условиях, используя формулу разности квадратов:
получаем:
можно получить поворотом интервала 
на угол –2π, поэтому достаточно найти решения, лежащие на интервале 
а затем уменьшить их на –2π. 
а потому в силу убывания арккосинуса
При таких значениях переменной числитель должен быть равным нулю. Используя формулу 
получаем:
то в силу основного тригонометрического тождества 
поэтому соответствующие значения переменной являются посторонними корнями. Уравнение 
и 
Преобразуем уравнение при этих условиях:
б) 
Найдем нули числителя, заметив, что квадраты двух чисел равны, когда сами числа равны или противоположны:
лежат только два числа такого вида: −5π и −4π.
б) −5π и −4π.
или 
при условии 
Получаем 
с помощью единичной окружности. Получим числа: 
б) 
и 
При этом условии можно приравнять числители:
и 
б) 
получаем:
и 
и 
б) 
Тогда 
а потому можно разделить обе части уравнения на 
Получим:
б) 
при помощи тригонометрической окружности (см. рис). Подходят: 
б) 
на тригонометрической окружности. Получаем: 
и 
б) 
Найденному значению параметра соответствует 
и 
Найденным значениям параметра k соответствуют корни 
и 
