PDF-версии: 1. Тип 15 № 507691 
Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Неравенства. Другие неравенства смешанного типа
i
Решите неравенство: 
Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:
При 
:
При 
:
Таким образом, получаем, что решение неравенства — множество 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
507691
Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
тогда 
:
выполняются оба условия: 
тогда 
удовлетворяют условию 
то есть неравенству 
имеем:
при любом 
при 
неравенство решений не имеет.
то 
то 
тогда 
откуда 
при условии 
и 
имеем:
представим первый множитель в числителе в виде 
имеет тот же знак, что и разность 
Кроме того, на ОДЗ логарифма разность 
и разность 
также имеют одинаковые знаки. Наконец, одинаковые знаки имеют выражения 
и 
Последовательно заменяя множители в числителе выражениями того же знака и учитывая ОДЗ, получим равносильное неравенство: 
тогда
то система равносильна неравенству
то система равносильна неравенству
и 
определены при 
равны нулю в точках 
откуда 
то есть 
или 
Полуинтервалу [2; 6) принадлежат решения 
и 
осталось присоединить в ним числа 
выражение 
определено и неравенство является верным.
выражение 
положительно и на него можно разделить, не меняя знак неравенства. Получаем:
получаем: 
или 
:
неравенство принимает вид 
получаем:
а второй множитель обращается в нуль, если 
откуда 
(вне ОДЗ), или если 
Поэтому на интервале 
неравенство сохраняет знак, а на открытом луче 
может поменять знак в точке 3. Выясним знаки неравенства на этих промежутках, взяв на них пробные точки.
заметим, что 
а потому 
Таким образом, оба множителя в пробной точке, а значит, и на интервале 
положительны.
заметим, что 
а потому 
Таким образом, оба множителя в пробной точке, а значит, и на интервале (2; 3) положительны.
заметим, что 
а 
Таким образом, первый множитель в пробной точке, а значит, и на всем луче 
положителен, а второй — отрицателен.
имеем:
имеем:
имеем:
тогда 
Поэтому, умножив на положительный знаменатель и снимая модуль, получаем на луче 
:
и сделаем замену переменной 
Тогда
или при 
неравенство является верным. Рассмотрим два случая.
или при 
получаем:
или при 
получаем:
является множество неотрицательных чисел. На этом множестве определено и выражение 
На области определения выражение 
находим ответ: 
или 
Это число является решением неравенства.
Раскрывая модуль, получаем:
Для таких значений переменной находим:
получаем:
получаем:
перейдем к основанию 3 и разложим на множители:
откуда получаем:
тогда
и 
Заметим, что
Оценим значение правой части неравенства:
— верно.
то
получим:
и 
равносильны. Отсюда получаем:
принимают только положительные значения. Поэтому неравенство верно тогда и только тогда, когда на ОДЗ выполнено неравенство 
Получаем:
