Точка О  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что BK  =  OK.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AO, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 и 12 со­от­вет­ствен­но, а OK  =  5.

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM  =  2R и CM  =  3R.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R  =  2.

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD  =  R.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если из­вест­но, что R  =  5 и CD  =  15.

Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BO в точке Q. При этом от­рез­ки OC и QP па­рал­лель­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  ― рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BQP, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2a.

Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC. Впи­сан­ная в него окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла B в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки PQ и OC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OBC, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2m.

Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML  — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO₁ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK  =  16.

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.

Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон BC, AB и AC в точ­ках K, L и M со­от­вет­ствен­но. Пря­мая KM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет в точке P окруж­ность ра­ди­у­са AM с цен­тром A.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AP па­рал­лель­на пря­мой BC.

б)  Пусть Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KM и AB, а T  — такая точка на от­рез­ке PQ, что Най­ди­те QT .

Угол BAC тре­уголь­ни­ка ABC равен Сто­ро­на BC яв­ля­ет­ся хор­дой такой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, ко­то­рая про­хо­дит через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABOC можно опи­сать окруж­ность.

б)  Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник ABOC можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти, если R  =  6,

Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. К этой окруж­но­сти про­ве­де­на ка­са­тель­ная, па­рал­лель­ная бис­сек­три­се AP тре­уголь­ни­ка и пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что угол MOC равен углу NOK.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC, если от­но­ше­ние пло­ща­дей тра­пе­ции AMNP и тре­уголь­ни­ка ABC равно 2 : 7, MN  =  2, AM + PN  =  6.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон BC и AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AC со­от­вет­ствен­но. Пря­мые MN и EF пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник DFN рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BED, если AB  =  20 и ∠ABC  =  60°.

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся сто­рон AB и AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мая BO пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка CON вто­рич­но в точке P.

а)   До­ка­жи­те, что точка P лежит на пря­мой MN.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABP, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 24.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са BK.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB  =  13, BC  =  7 и

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 4, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M, причём AM  =  8 и CM  =  12.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC.

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с ка­те­та­ми АС  =  4, ВС  =  3 впи­са­на окруж­ность с цен­тром О, ка­са­ю­ща­я­ся сто­рон ВС, АС и АВ тре­уголь­ни­ка в точ­ках R, Q, P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AO · BO · CO  =  10.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQR.

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся его сто­рон ВС, АВ и АС в точ­ках K, L и М со­от­вет­ствен­но. Пря­мая КМ вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет в точке Р окруж­ность ра­ди­у­са АМ с цен­тром А.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая АР па­рал­лель­на пря­мой ВС.

б)  Пусть AM  =  3, CM  =  2, Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых КМ и АВ, а Т  — такая точка на от­рез­ке РQ, что Най­ди­те QT.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с пря­мым углом С. На ка­те­те АС взята точка М. Окруж­ность с цен­тром О и диа­мет­ром СМ ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MN и ВО па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BOMN, если CN  =  8, AM : MC  =  1 : 3.

В тре­уголь­ни­ке ABC AB  =  3, Хорда KN окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AC и BC в точ­ках M и L со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABLM равна 2, LM  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KNC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KNC.

В каж­дый угол рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB  =  10, AC  =  BC  =  13, впи­са­на окруж­ность еди­нич­но­го ра­ди­у­са, точки О₁, О₂ и О₃ цен­тры этих окруж­но­стей. Най­ди­те:

а)  ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC;

б)  пло­щадь тре­уголь­ни­ка О₁, О₂, О₃.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, делит ме­ди­а­ну BM на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что BC : CA : AB  =  5 : 10 : 13.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, если BM  =  12.

На сто­ро­не KM ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PKM (PK ≠ PM) как на диа­мет­ре по­стро­е­на по­лу­окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая вы­со­ту PS в точке T, PS  =  8, TS  =  6, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка PKM.

а)  Най­ди­те PH.

б)   По­лу­окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны PK и PM в точ­ках L и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков PKM и PNL, если ра­ди­ус по­лу­окруж­но­сти равен 20.

Окруж­ность ра­ди­у­са 1 впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сред­ней линии тре­уголь­ни­ка ABC, па­рал­лель­ной сто­ро­не AC.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, P  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AB, точка M  — се­ре­ди­на AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка, если MC  =  MA, AC > BC,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на ги­по­те­ну­зу AB опу­ще­на вы­со­та CH. В тре­уголь­ни­ке ACH про­ве­де­на бис­сек­три­са CE угла ACH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCE  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те EO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, и из­вест­но, что AC  =  8, BC  =  6.

Точка D лежит на ос­но­ва­нии AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точки I и J  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABD и CBD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BI и DJ па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те IJ, если AC  =  12,

Пер­вая окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и В тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AC и BC в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но. Вто­рая окруж­ность про­хо­дит через точки D и E и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ния сто­рон BC и AC за вер­ши­ну C в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой AB.

б)  Пря­мые MD и NE вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют первую окруж­ность в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ее ра­ди­ус, если a AB  =  4.

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, до сто­ро­ны BC, если и

Окруж­ность с цен­тром O впи­са­на в тре­уголь­ник ABC. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AC и BC в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что сумма углов AOD и BOE равна 180°.

б)  Най­ди­те DE, если AC  =  BC, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а раз­ность углов AOD и BOE равна 60°.

Бис­сек­три­са AD боль­ше­го угла тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми 24, 40 и 56 делит его на два тре­уголь­ни­ка, в каж­дый из них впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как 9 : 10.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния этих окруж­но­стей с бис­сек­три­сой AD.

Дан тре­уголь­ник ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB пе­ре­се­ка­ет­ся с бис­сек­три­сой угла BAC в точке K, ле­жа­щей на сто­ро­не BC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник AKC, если и сто­ро­на AC  =  24.

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки D и E со­от­вет­ствен­но так, что точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, I и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Точка сим­мет­рич­на точке D от­но­си­тель­но пря­мой AI. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка если а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС равен

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,8 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 24. Точки E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EF ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность ω₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке N так, что CN : NB  =  1 : 2. Окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке M так, что BM : MC  =  1 : 2, а также ка­са­ет­ся про­дол­же­ния сто­ро­ны AC за точку C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω₂.

б)  Най­ди­те угол BAC, если BC ⊥ AC.

В тре­уголь­ни­ке АВС вы­со­та СН и ме­ди­а­на CK делят угол АСВ на три рав­ных угла. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти.