Всего: 819 … 241–260 | 261–280 | 281–300 | 301–320 | 321–340 | 341–360 | 361–380 | 381–400 …
Добавить в вариант
В треугольнике 
Точка D лежит на прямой BC причем 
Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников
Аналогично, 
Тогда 
значит, 
значит, 
или 
Точка D лежит на прямой BC причем 
Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и 
Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников
Аналогично, 
значит, 
значит, 
Найдите BC если 
Так как 
то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.
следовательно, 
откуда, учитывая, что 
получаем 
откуда учитывая, что 
или 
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 
а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 
— основание, 
Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник 
Пусть O — её центр, а E — точка касания с основанием 
следовательно, 
или 
Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами 
и 
С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 5. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Тогда 
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую 
и тогда 
:
или 
Дан треугольник АВС, площадь которого равна 325. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВE, если известно, что 
и 
а значит, 
получаем
со стороной 
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников 
и 
поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника 
Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
и OE за точки 
и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках 
Тогда 
— диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки 
и 
касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду 
Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
или 
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке 
Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если 
поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, 
поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, 
Тогда искомый радиус равен 
куба 
со стороной равной 1.
на плоскость ABCD − прямая 
как диагонали квадрата. Значит, по теореме о трех перпендикулярах 
Проведём через точку 
прямую, параллельную 
Она пересекает продолжение ребра 
в точке F, причём 
Искомый угол равен углу 
(или смежному с ним).
с прямым углом 
имеем:
по теореме косинусов получаем:
а тогда 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Косинус угла между векторами:
равен В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 6. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
тогда получаем:
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы. Таким образом, из прямоугольного треугольника AKB с прямым углом A получаем:
Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 13 и 7.25, а его высота BD равна 5. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.
см. рис. 1): 
или 
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что 
а) Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
Отсюда 
а значит, 
поскольку D — середина BC. Далее, 
отсюда 
Это и требовалось доказать.
Следовательно,
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Что и требовалось доказать.
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём 
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и 
Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что 
и 
Следовательно, 
По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, 
и 
По теореме Пифагора 
или 
Из этого уравнения находим, что 
Тогда 
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
или 
Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.В равнобедренном треугольнике ABC с углом 
при вершине A проведена биссектриса 
В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если 
откуда получаем, что 
Тогда
тогда 
Треугольники ABC и AED подобны, следовательно, 
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 
а боковые рёбра 
На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка 
Известно, что 
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
отрезок DE делит медиану, проведённую из вершины A, в отношении 
то есть содержит точку 
Кроме того, 
В нём 
Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону 
Тогда
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём 
а) Докажите, что 
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.
Поэтому 
значит, 
откуда находим, что 
Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 
В прямоугольнике ABCD 
Точка E на прямой AB выбрана так, что 
Следовательно, треугольник DEC равнобедренный, и 
Получаем, что треугольник EBC — прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
По теореме Пифагора 
Точка E может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки 
на рисунке), то 
на рисунке), то 
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
