PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 
а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1.
а) Докажите, что расстояние между прямыми 
и 
равно расстоянию между точкой A и плоскостью 
б) Найдите объём пятигранника ABCA1D.
Решение. а) Заметим, что расстояние между
и равно расстоянию между прямой и плоскостью 
то есть высоте CM треугольника ABC. Расстояние же между точкой A и плоскостью 
равно высоте того же треугольника ABC, проведенной из вершины A. Осталось заметить, что треугольник ABC равносторонний, поэтому его высоты равны.
б) Пусть CM — высота треугольника 
Тогда 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме 
и, значит, 
Пятигранник 
— четырехугольная пирамида с вершиной в точке C и основанием 
— прямоугольной трапецией. Высота пирамиды 
Площадь основания равна
Приведем другое решение.
Нетрудно заметить, что плоскость CDA1 делит призму на два равных многогранника. Значит, объем каждого из них равен половине объема призмы. Отсюда получаем ответ.
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. 
высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 
высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.
и 
откуда
Следовательно,
Тогда, записывая теорему косинусов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.
Следовательно,
где D — середина 
кроме того, 
(поскольку по условию 
). Таким образом, 
то есть является высотой пирамиды MPTA. Находим площадь треугольника MPT:
следовательно,
тогда 
тогда 
или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.
Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:
отрезок 
(поскольку это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции 
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
и
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS: 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 5.
Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды получаем, что объем пирамиды 
относится к объему параллелепипеда как 1 : 6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать.
поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую 
Поскольку 
и 
(в силу того, что 
отрезок ME является высотой пирамиды: 
значит,
следовательно, AD = BC.
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
а объём призмы равен 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
и 
на ребрах 
и AB соответственно так, чтобы 
Тогда плоскость 
— это плоскость 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
По теореме о трех перпендикулярах 
точки M на плоскость 
Проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
поэтому 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется, что 
тогда и 
за 
и 
— проекции точек 
Тогда
= 180° − 90° = 90°, что и требовалось доказать.
поскольку 
— равносторонний треугольник.
использована формула 
где а и b — противоположные ребра тетраэдра, а с и φ — соответственно расстояние и угол между ними. Эта формула приведена в школьном учебнике Л. С. Атанасяна Геометрия 10–11 для самостоятельного доказательства (задача № 803).
и 
тогда
тогда
пересекает медиану BN треугольника ABC в точке P.
Эта плоскость проходит через ось Ox, следовательно, 
Пусть плоскость 
Подставив их в уравнение плоскости 
найдем 
Вектор нормали плоскости 
коллинеарен вектору 
следовательно, плоскость 
что и требовалось доказать.
до плоскости 
Она равна 
Основание пирамиды — трапеция с основаниями 
и 
и высотой 
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому 
то есть 
Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
высота общая.
является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней 
и 
равны 
прямоугольный.
перпендикулярна плоскости 
поскольку она перпендикулярна прямым 
и 
Значит, прямые 
перпендикулярны.
Тогда объём треугольной пирамиды 
равен 
поскольку её высота 
равен 
Призма 
равен 
поэтому PDCQ — параллелограмм, 
поэтому 
то есть 
Так как 
и 
так как пирамида правильная, то 
следовательно, 
и 
то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC. Тогда 
расстояние от точки D до плоскости SBC в 1,5 раза больше, чем от точки M. Значит, 
из чего следует, что 
тогда 
то 
и 
значит, 
тогда 
и 
откуда 
что и требовалось доказать.
то трапеция ABCD равнобокая. Сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, поэтому 
тогда треугольники AKD и BKC прямоугольные и равнобедренные. В 
: 
тогда 
Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
Отсюда объём призмы равен:
тогда 
откуда 
Пусть BK' = x, применим теорему косинусов: 
является посторонним, поскольку 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда 
При этом 
откуда 
По пункту а) имеем: 
Что и требовалось доказать.
(как высоты ромба) и, следовательно, прямоугольные треугольники SBK и SBL равны, а значит, углы SKB и SLB равны.
Следовательно,
как 3 : 4.
Это и требовалось доказать.
Поэтому объем пирамиды KBQPC относится к объему пирамиды ABCS как 
Отсюда получаем, что искомый объем равен 
и 
тогда 
Также по теореме Пифагора 
и 
следовательно, 
Таким образом, получим 
Что и требовалось доказать.
тогда 
откуда 
откуда 
и 
Следовательно, 
получим 
и 
следовательно, треугольник ABS равносторонний. Пусть его сторона равна a, значит, 
Подставляя длины сторон, выраженные через a, получаем:
пользуясь предыдущим пунктом, находим: 
Найдём объем тетраэдра:
Тогда
тогда 
откуда 
Далее,
Окончательно найдём объем тетраэдра:
тогда
и HC = 4.
Тогда в треугольнике AHC медиана OH равна половине стороны AC, поэтому треугольник AHC прямоугольный.
значит, сторона основания пирамиды равна 3. Пусть M — середина AD, а N — середина BC. Пусть NE — высота в треугольнике MSN. Тогда MN = 3, а 
Поэтому из подобия треугольников MEN и MOS получим
На рёбрах AB и В1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = 2, B1L = 28. Точка М — середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. 
следовательно, треугольник BMN — прямоугольный, прямые MN и BM перпендикулярны. Тогда и прямые ST и BM перпендикулярны. Кроме этого, прямые BM и AC перпендикулярны, прямые BM и KL перпендикулярны, следовательно, прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
находим, что 
Следовательно, искомый объём пирамиды 
Таким образом, угол ASC прямой, то есть прямые SA и SC взаимно перпендикулярны и, значит, прямые MN и SC взаимно перпендикулярны. Кроме этого, прямые PQ и AC взаимно перпендикулярны, прямые SO и PQ взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямая PQ перпендикулярна плоскости α и прямой SC. Таким образом, прямая SC перпендикулярна плоскости α.
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
Но из параллельности плоскости α и прямой SA получаем, что прямые KL и SA параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках 
а это значит, что высота высота пирамиды LPKD равна трети высоты SABCD, а 
Точка O — середина отрезка CB1.
и O' — середина BC. Далее пусть P — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует: 
и 
Имеем 
и 
что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой. 
проходит через A. Отсюда следует, что и NO проходит через точку A.
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. 
Используя пространственную теорему Пифагора, запишем: 
и 
откуда 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Получаем 
следовательно, вектора 
и 
коллинеарны, то есть лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Точка N принадлежит обоим этим векторам, следовательно, они лежат на одной прямой, то есть точка A лежит на прямой ON, что и требовалось доказать.
Тогда высота 
Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как 
Тогда
площади треугольника SBC.
следовательно, 
и 
Пирамиды KABC и SABC имеют одно основание, при этом высота пирамиды KABC в два раза меньше высоты пирамиды SABC, следовательно, 
Тогда 
Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость β разбивает пирамиду.
По теореме Фалеса 
следовательно, 
поэтому высоты пирамид FAMOD и KDOL равны 
и 
соответственно. Тогда
Таким образом, объем пирамиды KFADLM равен
то
На ребре DD1 отмечена точка M так, что 
Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки 
следовательно, отрезки QH и BE перпендикулярны, а значит, отрезок QH перпендикулярен плоскости α и является расстоянием от точки Q до плоскости α, то есть равен высоте пирамиды A1BEMN. 
а значит,
откуда 
где отрезок KH1 — высота тетраэдра CKMN, а отрезок AH — высота тетраэдра ABCD. Выразим площадь треугольника CMN через площадь треугольника BCD:
Следовательно, 
Аналогично получаем, что 
поэтому треугольники PAB и BCQ равны. Имеем:
Поскольку пирамиды BMKDA и BSDA имеют общую высоту, получаем:
а основание AD вдвое больше основания BC. Точки P, T, M — середины ребер SB, BC, AB соответственно. Известно, что ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA = AB.
Обозначим SO = 3x, тогда OH = 4x и 
Заметим, что
Пусть меньшая диагональ ромба A1A3 = 4x, тогда большая A2A4 = 6x. Находим:
где β — величина линейного угла двугранного угла при стороне основания. В данной задаче 
Тогда имеем:
и 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда 
и 
поэтому площадь треугольника EKN составляет 
Плоскость α проходит через точки E и F перпендикулярно прямой AC и пересекает рёбра AB и CS в точках H и M соответственно.
пересекает ребро AS в точке P, тогда отрезок PN параллелен ребру AB — в противном случае плоскость 
и они параллельны, получаем, что EPNQ — равнобокая трапеция.
где h1 — высота пирамиды PAEBQ, проведенная из вершины P. Найдем площадь основания AEQB:
где h3 — высота пирамиды QNBP, проведенная из вершины Q. Найдем площадь основания PBN: 
Теперь можно вычислить объем QNBP:
Значит, прямоугольный треугольник KHB равнобедренный и 
Тогда в треугольнике KBO 
следовательно, 
откуда
Следовательно, меньший из объемов равен 36.
тогда
Далее,
Следовательно, объемы частей относятся как
и 
Пусть 
Из прямоугольных треугольников ADP, ADO и ADM последовательно получаем:
Следовательно,
Объем пирамиды ATLFQ равен
а искомый объем равен сумме двух найденных:
Длина отрезка KC втрое меньше длины ребра призмы, а длина отрезка A1M — вдвое меньше. Значит, 
то есть 
и 
По теореме Пифагора в треугольниках ADK, MB1C1, MC1L соответственно находим:
получаем уравнение:
тогда:
Подставляя координаты точек A, K и М, получаем:
Имеем:
Подставим их в уравнение плоскости, получим: 
откуда находим: 
Cледовательно, точка L делит ребро CC1 в отношении 2 :1, считая от вершины С. Это и требовалось доказать.
Сечение является равнобедренной трапецией, поэтому 
тогда искомый объем равен
следует параллельность прямых MN и AC. Таким образом, прямая MN параллельна средней линии PQ, а значит, точки Р, Q, M и N лежат в одной плоскости.
—
—
Прямоугольные треугольники A1B1D и C1B1D равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
откуда
то есть 
Треугольники ABM и KBQ подобны по двум углам, поэтому:
то есть 
Треугольники AKT и BKN подобны по двум углам, следовательно, 
и потому:
Найдем площадь основания этой пирамиды, а затем и ее объем:
поэтому 
Найдем объем пирамиды PKAT:
