Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 1. Точка T  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость A₁BT делит объем куба в от­но­ше­нии 1 : 11.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти A₁BT.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Длина ребра куба равна 1.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды B₁AD₁C₁B равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка BC₁ до плос­ко­сти AB₁D₁.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  12 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA  =  5, SB  =  13, SD  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD, у ко­то­ро­го AB  =  10, BD  =  12. Вы­со­та приз­мы равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра грани A₁B₁C₁D₁ до плос­ко­сти BDC₁.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  6. Вы­со­та приз­мы равна 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки A, A₁ и се­ре­ди­ну ребра B₁C₁, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра B₁C₁ до плос­ко­сти BCA₁.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 1, T  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды в 12 раз мень­ше объ­е­ма куба.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти A₁BT.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной вы­со­та приз­мы равна

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BCM, где M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти BCM.

Ребро ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы LMNL₁M₁N₁ равно её вы­со­те и равно

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы, про­хо­дя­щее через и точку T  — се­ре­ди­ну ребра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки L₁ до плос­ко­сти LM₁T.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость FB₁C₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BB₁F.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти FB₁C₁.

От­ре­зок AC ― диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ре­зок AP  ― об­ра­зу­ю­щая этого ко­ну­са и AP  =  AC. Хорда ос­но­ва­ния BC со­став­ля­ет с пря­мой AC угол 60°. Через AP про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной пря­мой BC. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ADP, где и AD  — хорда ос­но­ва­ния, яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са O до плос­ко­сти се­че­ния.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Бо­ко­вое ребро сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 2.

а)  До­ка­жи­те, что точки B и S рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ADM, где M  — се­ре­ди­на ребра SC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти ADM.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти DEA₁.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B до плос­ко­сти ACD₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ вы­со­та равна 1, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­ды и рав­но­ве­ли­ки.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти DA₁C₁.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R со­от­вет­ствен­но так, что PA  =  AQ  =  RC  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА′B′C′ сто­ро­на ос­но­ва­ния АВ равна 6, а бо­ко­вое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК  =  1. Точки М и L  — се­ре­ди­ны рёбер А′С′ и В′С′ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой АС и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти γ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме АВСDА₁В₁С₁D₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно На реб­рах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки К и L со­от­вет­ствен­но, причём ВК  =  4, C₁L  =  5. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти γ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 16, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти MNK и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти SBC.

На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 12, а вы­со­та приз­мы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, причём PC₁  =  3, а AQ  =  4. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти A₁PQ.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C, AC  =  4, BC  =  16, Точка Q  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны C₁. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти APQ.

Ребро SA пи­ра­ми­ды SABC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ведённая из точки A, де­лит­ся плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, AC и SA, по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до этой плос­ко­сти, если AB  =  AC  =  5,

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­ной AB  =  4 и диа­го­на­лью BD  =  7. Все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на ребру SB.

б)  Плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Q до плос­ко­сти ABC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 8, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ от­ме­че­на точка М, при­чем СМ  =  1.

а)  Точки О и О₁  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков АВС и А₁В₁С₁ со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мая ОО₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВМ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А₁ до плос­ко­сти АВМ.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме АВСDA₁B₁C₁D₁ на бо­ко­вых реб­рах АА₁ и DD₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки К и М так, что АК : А₁К  =  2 : 3, DM : D₁M  =  4 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ВМК па­рал­лель­на пря­мой АС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти ВМК, если АВ  =  8, АА₁  =  10.

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная приз­ма, сто­ро­на AB равна 16. Через точки M и P, ле­жа­щие на рёбрах AC и BB₁ со­от­вет­ствен­но, про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AB. Се­че­ние приз­мы этой плос­ко­стью  — четырёхуголь­ник, одна сто­ро­на ко­то­ро­го равна 16, а три дру­гие равны между собой.

а)  До­ка­жи­те что пе­ри­метр се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α боль­ше 40.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти α, если упо­мя­ну­тый пе­ри­метр равен 46.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды MABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  4 и BC  =   все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка Е, а на реб­рах AM и AB  — точка F и G со­от­вет­ствен­но так, что MF  =  BE  =  BG  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость GEF про­хо­дит через точку C.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость GEF пе­ре­се­ка­ет грань CMD пи­ра­ми­ды.

Точка K лежит на сто­ро­не AB ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, все ребра ко­то­рой равны. Плос­кость α про­хо­дит через точку K па­рал­лель­но плос­ко­сти ASD. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α   — че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что BK  =  2AK.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S до плос­ко­сти α, если все рёбра пи­ра­ми­ды равны 1.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AD  =  14, вы­со­та SH  =  24. Точка P  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SD, а точка N  — се­ре­ди­на ребра CD. Плос­кость ABP пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вое ребро SC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок SN в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти ABS.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 17. На реб­рах АВ и SB от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, при­чем Плос­кость α про­хо­дит через точки К, L и С.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды S до плос­ко­сти α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AC равна а бо­ко­вое ребро равно На ребре AC от­ме­че­на точка E так, что Точки F, N  — се­ре­ди­ны сто­рон A₁B₁ и B₁C₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой AB и со­дер­жит точки E и N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки F до плос­ко­сти α.

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABC яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но грани MBC. Через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды M и се­ре­ди­ны ребер AC и BC про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним тре­уголь­ни­ком.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны C до плос­ко­сти α.

На реб­рах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, при­чем DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти APQ.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра BC  =  8, CD  =  3, BB₁  =  6. Точка Q  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стя­ми BD₁Q и ABC равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти BD₁Q.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MNPQ с вер­ши­ной M сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 15, вы­со­та равна На реб­рах NP, NQ и NM от­ме­че­ны точки E, F, K со­от­вет­ствен­но, при­чем NE  =  NF  =  3 и

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти EFK и MPQ па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти MPQ.

Точка S лежит вне плос­ко­сти пря­мо­уголь­ни­ка АВСD. Из­вест­но, что АВ  =  8, ВС  =  12, SA  =  6, SB  =  10,

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АВС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти SCB.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку D, М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC. Угол между пря­мы­ми АМ и ВС равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти ABS, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость α про­хо­дит через точки N и B₁ па­рал­лель­но пря­мой CM. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если

Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁ тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит тре­уголь­ник ABC. Плос­кость α про­хо­дит через точки B и B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M.

а)  До­ка­жи­те, что одна из диа­го­на­лей грани ACC₁A₁ равна од­но­му из ребер этой грани.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если плос­кость α делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A, AC  =  10, AA₁  =  12.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти AD₁C и BB₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти AD₁C, если AB  =  5 и AA₁  =  6.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро ко­то­ро­го равно 12, точки K и L  — се­ре­ди­ны ребер AD и C₁D₁ со­от­вет­ствен­но, а точка F рас­по­ло­же­на на ребре BC так, что CF  =  3BF.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLF делит диа­го­наль AC ос­но­ва­ния ABCD в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от точки A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти KLF.

На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что

а)  Пусть точка F делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны B₁. До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BE и AC₁ равен углу AC₁F.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти AC₁F, если ребро куба равно 3.

Дан тет­ра­эдр ABCD, на реб­рах AC, AD, BD, BC от­ме­че­ны точки K, L, M, N со­от­вет­ствен­но так, что а KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до КLМ, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 50.

Дан тет­ра­эдр ABCD. На ребре AC вы­бра­на точка K так, что Также на реб­рах AD, BD и BC вы­бра­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но так, что KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что ребра AB и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти KLMN, если объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2, AK : KC  =  2 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти KLМN, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Дан тет­ра­эдр ABCD, на реб­рах AC, AD, BD, BC от­ме­че­ны точки K, L, M, N со­от­вет­ствен­но так, что а KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до КLМ, если из­вест­но, что объем пи­ра­ми­ды СKLM равен 50.

В тет­ра­эд­ре ABCD про­ти­во­по­лож­ные ребра по­пар­но равны. Точки M, N и K се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер BD, AC и DC со­от­вет­ствен­но. Через точку K про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость α, па­рал­лель­ная реб­рам BD и AC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти α, если и

В тет­ра­эд­ре ABCD про­ти­во­по­лож­ные ребра по­пар­но равны. Точки M, N и K  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер BD, AC и DC со­от­вет­ствен­но. Через точку К про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость α, па­рал­лель­ная реб­рам BD и AC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на се­ку­щей плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти α, если и

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S точка M се­ре­ди­на SC, точка N делит ребро SB в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до этой плос­ко­сти, если AB  =  2, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ длина бо­ко­во­го ребра AA₁ равна 2. Шар с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся всех гра­ней этой приз­мы. Точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ребер AB, A₁B₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой NO с плос­ко­стью ос­но­ва­ния АВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РК и МО па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до плос­ко­сти АРК.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра и На реб­рах AA₁ и CD от­ме­че­ны точки P и K со­от­вет­ствен­но, при­чем DK  =  5, A₁P  =  6. Плос­кость ВКР пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра DD₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти BKP.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме точка M лежит на вы­со­те ос­но­ва­ния BD, при­чем точка N лежит на диа­го­на­ли CB₁ бо­ко­вой грани CC₁B₁B. Пря­мые AN и A₁M пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти ACN, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 5, а вы­со­та равна 10.

Все грани приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁  — рав­ные ромбы со сто­ро­ной, рав­ной 2. Плос­кие углы при вер­ши­не А равны 60° каж­дый. Через се­ре­ди­ну диа­го­на­ли A₁C про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная этой диа­го­на­ли.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α  — квад­рат.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти α.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что и Через точки B₁ и D па­рал­лель­но пря­мой AC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CC₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K делит ребро BC в от­но­ше­нии BK : KC  =  2 : 1, AB  =  6 и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость OMK па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMK пе­ре­се­ка­ет грань SAD.

Дан тет­ра­эдр SABC. На его ребре AC вы­бра­на точка P так, что AP : PC  =  3 : 5. Также на реб­рах SA, SB и BC вы­бра­ны точки T, Q и R со­от­вет­ствен­но так, что PTQR  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что BR : RC  =  3 : 5.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти PTQ, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра равен  32.

В пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вые рёбра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная.

б)  На рёбрах SA и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти BKM.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра DD₁ и AA₁ в точ­ках М и K со­от­вет­ствен­но так, что DM : MD₁  =  4 : 1, AK : KA₁  =  2 : 3, а ребро АВ  — в се­ре­ди­не L.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку С.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти α, если сто­ро­на ромба равна тан­генс остро­го угла ромба равен а вы­со­та приз­мы равна 10.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 16 на реб­рах AC и A₁C₁ вы­бра­ны со­от­вет­ствен­но точки M и K так, что AM : MC  =  11 : 5, A₁K : KC₁  =  3 : 5, точка N  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что точка B₁ лежит в плос­ко­сти KMN.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если из­вест­но, что она равна рас­сто­я­нию от точки C₁ до плос­ко­сти KMN.

В пи­ра­ми­де ABCD ребра DA, DB и DC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так что АВ  =  ВС  =  АС  =  1. На реб­рах DA и DC от­ме­че­ны точки М и N со­от­вет­ствен­но, при­чем DM : MA  =  DN : NC  =  2 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да АВСD пра­виль­ная.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти MNB.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы слу­жит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, АВ  =  ВС. Точка K  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани АСС₁А₁, точка L делит ребро А₁В₁ так, что А₁L : LB₁  =  3 : 1, точка М делит ребро ВС в от­но­ше­нии СМ : МВ  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML делит ребро ВВ₁ в от­но­ше­нии 9 : 1, счи­тая от точки В.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны А до плос­ко­сти KML, если АА₁  =  20, АС  =  16.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD через точку М пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани SBC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния про­хо­дит плос­кость α, де­ля­щая АВ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны А.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку С.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани ADS до плос­ко­сти α, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 

Точка P  — се­ре­ди­на ребра AD куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­ре­ди­на ребра DC при­над­ле­жит плос­ко­сти A₁C₁P.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра AB до плос­ко­сти A₁C₁P, если длина ребра куба равна 3.