PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно 4 решения.
Решение. Заметим, что сумма корней уравнения 
равна 
а их произведение равно 
Поэтому корни — числа 
и 
Тогда для исходного уравнения имеем:
Каждое из уравнений совокупности может иметь не более двух корней.
Для того чтобы исходное уравнение имело четыре корня, каждое из уравнений совокупности должно иметь по два корня и при этом уравнения не должны совпадать. Заметим, что если два взаимно обратных числа y и 
различны, то 
Используя это свойство, получаем, что четыре корня исходное уравнение будет иметь при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек. ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу. | 3 |
С помощью верного рассуждения получены искомые значения  возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной  | 2 |
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций  и  . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
имеет на промежутке 
единственный корень.
Исходное уравнение примет вид 
единственный корень при 
откуда 
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
имеет на промежутке 
при 
и не имеет на промежутке 
корней при 
и при 
Исходное уравнение примет вид 
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
при условии 
имеет на промежутке 
и не имеет на промежутке 
на промежутке 
не имеет корней; 
имеет единственный корень 
имеет два различных корня 
имеет единственный корень 
Ответ отличается от верного исключением точки a = 0. 
или 
тогда уравнение запишется в виде 
откуда 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения одного из уравнений 
или 
в зависимости от a и b. При 
уравнение принимает вид 
Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен 
Таким образом, уравнение 
одно решение при 
и не имеет решений при 
При 
уравнение принимает вид 
и имеет одно решение.
совпадают при 
то есть при 
которое имеет два решения.
поэтому уравнение 
то есть при 
и при 
и/или 
или 
возможно, с включением граничных точек.
или 
ровно два решения.
тогда уравнение запишется в виде 
откуда 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений 
или 
в зависимости от b. На промежутке 
функция 
принимает каждое неотрицательное значение один раз, на промежутке 
функция 
и одно решение при 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
и 
При 
и имеют два решения на отрезке 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение на отрезке 
если оба уравнения 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
и/или 
множества значений a, возможно, с с включением граничных точек и/или исключением точки 
является корнем уравнения
откуда 
является корнем уравнения
откуда 
исходное уравнение имеет единственный корень 
или 
или 
множества значений a.
имеет решения на отрезке 
принадлежат два числа 
и 
тогда имеем:
Подставляя его в неравенство, получаем: 
откуда 
принадлежит отрезку 
при k = −1 и k = 0.
имеет на отрезке 
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
только если число 
или находится вне отрезка 
или совпадает с 
то есть 
откуда 
или 
имеет единственное решение.
или 
Второе из них имеет единственное решение при всех значениях параметра, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение, если первое уравнение не имеет решений, то есть при 
либо если оба уравнения совпадают. Во втором случае имеем:
откуда 
Найдем 
получаем 
откуда 
получаем 
откуда 
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условиях:
лежит на отрезке [0; 2], если 
Тогда для первого случая получаем: 
при условии 
лежит на отрезке [0; 2], если 
Тогда для второго случая получаем: 
равен 
если 
и 
, возможно с учётом принадлежности их отрезку [0; 2].
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условии 
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
лежит на отрезке [0; 1] при 
учитывая 
получаем 
лежит на отрезке [0; 1] при 
учитывая 
получаем 
и 
совпадают при 
совпадают при 
и 
и 
и/или 
, но неверно определены промежутки.
или 
возможно с исключением граничных точек.
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Используем свойство пропорции:
получим уравнение 
На отрезке 
функция тангенс принимает все значения из луча 
поэтому оно имеет решения при 
Функция определена при всех 
Найдём производную:
и 
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — единственная точка минимума, значение в этой точке равно 11. Эскиз графика 
изображён на рисунке.
и 
Поэтому
то график функции 
имеют единственную общую точку при 
общих точек нет;
то линии имеют две различные общие точки при 
то линии имеют одну общую точку при 
и ещё одну при 
было меньше двух, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
имело решение. Запишем его в следующем виде:
и 
тогда 
График левой части неравенства — парабола с нулями 
и отражённой отрицательной частью. График правой части — перевёрнутая «галочка» модуля поднятая на 2 единицы вверх с вершиной в точке 
которая в зависимости от a перемещается вдоль прямой 
Построим их графики. 
где 
и 
— случаи касания «галочки» и параболы 
Уравнение 
должно иметь единственный корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим 
откуда 
должно иметь один корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим 
откуда 
и 
были различны, а также ни одно из них не равнялось 
Имеем:
на интервале 
при 
имеет один корень, при 
имеет два корня (см. верхний рисунок).
не имеет корней, при 
имеет два корня, при 
имеет один корень, при 
не имеет корней (см. нижний рисунок).
совпадают. Для этого решим уравнение 
— два корня;
— два корня;
не имеет решений тогда и только тогда, когда соответствующее ему уравнение 
не имеет корней. Найдем четверть дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в левой части исходного неравенства: 
то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с положительным старшим коэффициентом, а значит, оно не может быть верным для любого a.
то неравенство (⁎) примет вид 
что также не является верным для любого a.
то неравенство (⁎) является квадратным неравенством относительно a, с отрицательным старшим коэффициентом. Оно верно для любого a, если дискриминант соответствующего уравнения отрицателен.
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
имеет единственное решение 
на отрезке [0;2].
имеет смысл при 
значит, при 
число 
имеет единственное решение 
на отрезке [0; 2] при 
Выражение 
имеет смысл при всех значениях 
совпадают при 
уравнение 
или 
Эти корни — корни уравнения 
— должны быть отличны от корней уравнения 
Подставляя 
получаем 
откуда 
и 
Возвращаясь к уравнению 
находим запрещенные значения параметра: 
и 
Следовательно, искомые значения параметра суть 
для которых выполнено условие 
уравнение 
задает на плоскости Oxa пару прямых l1 и l2, заданных уравнениями a = 3x и a = −3x соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a = 0 и имеет два корня при 
задает пару прямых m1 и m2, заданных уравнениями a = x + 4 и a − x − 4 соответственно.
выполнено для корней уравнения 
при всех a, кроме a = −6, a = −3, a = 3 или a = 6.
имеет ровно два различных решения.
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, уравнение
то уравнение (⁎) равносильно уравнению 
то 
и 
являются решениями неравенства
получаем:
Таким образом, оба числа являются решением неравенства, только если 
Заметим, что
получаем:
— является корнем при любом значении параметра a. Значит, чтобы исходное уравнение имело единственное решение второе уравнение совокупности не должно иметь корней отличных от 
представляет собой возрастающую функцию (сумма возрастающих), а правая часть — постоянную. Значит, уравнение может иметь не более одного корня. Очевидно, этот корень 
Ни при каких значениях параметра число 
не имело решений. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.
тогда
Квадратное уравнение имеет ровно один корень, тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:
и 
равносильны.
Решим второе уравнение при условии 
:
второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда 
второе уравнение совокупности имеет решение, которое совпадает с 
или 
тогда
каждый из множителей правой части больше 1, значит, уравнение не имеет корней. При 
каждый из множителей правой части меньше 1, поэтому уравнение также не имеет корней. Значит, 
является единственным корнем этого уравнения. 
получаем, что уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень при 
откуда 
Таким образом, 
и ни одно из 
Подставляя эти числа в уравнение 
найдем, при каких a они являются корнями: 
получаем 
или 
получаем:
тогда
— квадратичная с положительным старшим коэффициентом, она ограничена снизу (график функции — парабола с направленными вверх ветвями — схематично изображен на рисунке). Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение 
имело два корня, а квадратное уравнение 
не имело корней. То есть необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств:
где 
Рассмотрим кусочно-линейную функцию 
Раскрыв модули, получаем
Если 
то на этом луче функция f неограниченно возрастает, а если 
то неограниченно убывает. В обоих случаях найдутся такие значения у, что условие 
не выполнено. Следовательно, условие 
имеем 
и 
— условия выполнены.
имеем 
и 
— условия не выполнены.
при 
Для того чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы:
имело два решения, отличных от 
При 
уравнение имеет решение 
что не равно 
Следовательно, искомое уравнение имеет решения 
и 
уравнение имеет два решения, если
Для того чтобы уравнение имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно выполнения любого из условий а) — в):
имеет два решения, оба отличные от 
одно из которых совпадает с 
Отсюда вытекает, что при 
уравнение имеет единственное решение 
что не равно 
и 
уравнение имеет два решения, если
или 
(⁎) имело единственное отличное от −а решение.
Заметим, что корни 
совпадают при 
или 
или 
при всех a. 
имеет ровно три различных решения?
и 
совпасть не могут, как и решения 
и 
Рассмотрим случаи 
или 
или 
или 
найдем 
или 
Ясно, что две пары решений не могут совпасть ни при каких значениях параметра.
где 
откуда 
С другой стороны, если числа x1, x2, x3 являются корнями кубического уравнения, то 
откуда 
то есть при 
Это уравнение имеет единственный корень 
исходное уравнение имеет три корня:
Этими корнями являются числа 2, 4 и 8.
корни 2, 4, 8.
равно −r, и сразу получить, что 
принадлежит отрезку 
и является корнем уравнения при 
Число 
Число 
принадлежит отрезку 
корни 
или при 
числитель левой части неравенства является квадратным трёхчленом и имеет не более двух корней. Рассмотрим возможные варианты. 
неравенство принимает вид
поэтому этот случай невозможен.
уравнение не имеет смысла. При 
правую часть уравнения можно записать в виде
и 
и 
тогда:
является решением неравенства, то и число 
является решением неравенства, значит, единственным решением может быть только число 0. Найдем значения параметра, при которых 0 является решением неравенства:
получаем: 
получаем: 
получим квадратное уравнение с параметром: 
Оно имеет не больше двух корней. Чтобы найти их, запишем уравнение в виде
или 
и других корней нет (также можно было воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета). Далее выделим полный квадрат, получаем:
тогда исходное уравнение имеет более двух корней тогда и только тогда, когда совокупность
совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение, значит, исходное уравнение имеет не более двух корней; 
совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения, значит, исходное уравнение имеет более двух корней;
совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение 
значит, исходное уравнение имеет не более двух корней; 
совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения, значит, исходное уравнение имеет более двух корней.
совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения 
или 
значит, исходное уравнение имеет три корня 
совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения 
или 
значит, исходное уравнение имеет четыре корня 
является корнем исходного уравнения. Получаем:
является корнем исходного уравнения. Получаем:
Тогда исходное уравнение:
имеет два корня;
имеет один корень;
имеет два корня;
имеет один корень;
не имеет корней.
уравнение можно записать в виде:
не является корнем данного уравнения, поэтому деление обеих частей уравнения на 
не приведет к потере корня и полученное уравнение будет равносильно исходному. Имеем:
получаем: 
где 
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка 
она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра исходное уравнение имеет ровно один корень, больший −1.
получаем уравнение
где теперь 
Решим уравнение:
:
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка [0; 1) она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра a, исходное уравнение имеет ровно один корень, не больший −2.
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень.
уравнение 
заметим, что график функции f представляет собой параболу с вершиной в точке 
и точкой пересечения с осью ординат 
Из графических соображений очевидно, что такая парабола пересекает ось абсцисс в точке, лежащей правее 1, тогда и только тогда, когда 
откуда 
а значит, 
в виде 
и заметим, что парабола, являющаяся графиком функции g, имеет вершину в точке с абсциссой 
причем 
Из этого следует, что точка пересечения графика g с осью абсцисс лежит в полуинтервале [0; 1) в том и только том случае, когда 
откуда 
а значит, 
и 
исходное уравнение имеет два корня, а если выполнено ровно одно из этих неравенств, уравнение имеет единственное решение. Таким образом, возможны два случая:
Она непрерывная и возрастающая, 
поэтому на промежутке 
функция принимает все значения из полуинтервала 
Функция 
на промежутке [−1; 0) также непрерывна и возрастает, 
поэтому принимает все значения из полуинтервала [5; 7,5).
на промежутке [−1; 0) оба множителя в левой части неравенства (⁎) отрицательны, а при 
оба множителя положительны, поэтому при таких значениях параметра неравенство не выполняется. В то же время при каждом значении 
множитель 
будет обращаться в нуль в какой-то из точек промежутка [−1; 0) и неравенство будет выполнено. 
правая часть уравнения 
правая часть уравнения равна 2, а левая часть уравнения не меньше 2, причём равенство достигается только при x = 0.
правая часть уравнения 
Значит, исходное уравнение имеет единственное решение 
Числа −1, 0 и 1 являются корнями этого уравнения. 
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x. Исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда уравнение 
имело ровно три различных положительных корня, необходимо и достаточно (см. рис.), чтобы значение функции в нуле было отрицательным, а на положительной полуоси она имела два экстремума разных знаков, то есть чтобы имела решения система неравенств:
где 
тогда любому значению x соответствует ровно одно значение t из интервала 
Получаем, что:
соответствует ровно одно значение 
из интервала (−1; 1). Тогда:
и положили 
Можно было поступить иначе: чтобы преобразовать сумму 
положим 
тогда 
а потому при каждом значении параметра, таком, что 
исходное уравнение имеет решение, причем единственное. Эскиз графика функции приведен на рисунке.
Тогда
имеет решения при и только при 
исходное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда функция 
либо не имеет нулей, либо её нули лежат за пределами отрезка 
тогда функция f — квадратичная. Имеем:
графиком функции f является парабола с вершиной в точке 
и ветвями вверх, её нули лежат вне отрезка [0; 2] при 
откуда 
или 
тогда
с центром в точке 
Точки, лежащие на прямых 
и 
не удовлетворяют системе. Построим график совокупности в системе координат xOa для х, лежащих на отрезке [1; 4]. Обозначим точки, как показано на рисунке. Для значений переменной их отрезка [1; 4] система задает:
(выделено синим), лежащую между точками A(1; 1) и D(4; 2), без точки А; 
или 
система (⁎) не имеет решений на отрезке [1; 4], при 
имеет одно решение.
в виде 
Условие 
означает, что 
откуда: 
и 
Найдём решения системы при этих значениях:
то: 
то: 
то: 
на отрезке [1; 4] (см. рис.) Пользуясь графиком, заключаем, что уравнение 
уравнение не имеет решений. Преобразуем уравнение при 
Тогда
уравнение не имеет решений, при 
или 
уравнение имеет один корень, при 
или 
уравнение имеет два корня: 
Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, больших чем 3, необходимо и достаточно, чтобы при 
выполнялась система неравенств: 
поэтому исходное неравенство выполняется для любых значений x при выполнении условий
поэтому исходное неравенство выполняется для любых значений x, если
или при 
Тогда:
равно −2, а наибольшее значение равно 2. Значит, в случае 
неравенство 
выполняется для любых значений x, если и только если 
неравенство
лежат в отрезке [−1; 1], применим правила «меньше меньшего», «больше большего»:
имеет решения при 
неравенство 
имеет решения при 
Поэтому совокупность не имеет решений при 
является парабола с вершиной в точке 
и ветвями вверх (выделена оранжевым). Графиком 
является синусоида с наименьшим положительным периодом 2, наибольшим значением 1 и наименьшим значением −1 (выделена красным пунктиром). Эти два графика разбивают плоскость на три части, в каждой из которых знак левой части неравенства постоянен. Выясним этот знак, подставив пробные точки.
:
:
:
имеет решения при любом значении t. Таким образом, надо выяснить, при каких 
уравнение 
и 
При 
и исследуем, при каких значения параметра меньший корень этого уравнения удовлетворяет условию 
уравнение имеет вид 
но при таких значениях параметра исходное уравнение имеет хотя бы одно решение из случая 
поэтому дальнейшее исследование не требуется.
Тогда уравнение примет вид 
равносильно уравнениям 
полученное уравнение не имеет решений, а при 
откуда и следует ответ.
где 
Функция 
является возрастающей как произведение двух положительных возрастающих функций. Тогда уравнение 
равносильно уравнению
не имеет корней, при 
При 
оно не имеет корней, при 
имеет один корень, при 
имеет два корня.
а второе — корни 
и 
и 
а второе — корень 
каждое из уравнений имеет два различных корня. Совпадающие корни найдём из условия
первое уравнение имеет корни 
и 
а второе — корни 
под знак модуля, получим:
откуда
а потому двойное неравенство имеет больше семи натуральных решений тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть 
При этом для рассматриваемого случая 
получаем:
Меньший корень отрицателен при всех таких а, и потому оба найденных корня отрицательны, если 
уравнение имеет единственный корень 
Если 
то есть если 
уравнение имеет единственный отрицательный корень. При 
уравнение имеет корень 
получаем:
При 
уравнение имеет единственный корень 
то есть если 
имеет ровно один корень.
Если 
то корнями уравнения являются числа, для которых 
На отрезке 
а условие принимает вид 
Корни 
и 
совпадают при 
если 
и не принадлежит данному отрезку при прочих значениях параметра. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
и 
имеет ровно четыре различных решения.
при этом 
Исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения, тогда и только тогда, когда полученное уравнение является квадратным и имеет два положительных корня. Тогда 
то есть 
откуда 
при 
поскольку числитель дроби больше нуля. При условии 
корень 
положителен при 
и исследуем её с помощью производной (см. рис.):
соответствуют три различных значения x, каждому из значений 
соответствуют по два различных значения x, а каждому значению 
соответствуют по одному значению x.
тогда исходное уравнение принимает вид
или 
и при этом 
Рассмотрим эти случаи.
значит, при 
имеем:
аналогично получаем:
Тогда
не может являться корнем уравнения (⁎) ни при каком значении параметра a.
тогда 
Уравнение имеет два решения при 
что верно при всех t.
откуда 
Найденному значению t соответствуют два корня исходного уравнения. 
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение имеет одно решение. При 
уравнение решений не имеет. 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
при
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
тогда 
то есть 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
достигается, если
Получаем:
Возможны два случая.
и/или 
при 
при 
и 
при 
с учетом принадлежности корня указанному отрезку в первом случае и верно найден корень 
во втором случае решения,
и 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
Корни 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
имеет два корня 
имеет один корень 
не имеет корней.
или 
тогда условие задачи будет выполнено тогда и только тогда, когда уравнение
откуда 
Значит, значение 
уравнение является квадратным, тогда условие задачи будут выполнены, если уравнение имеет корни, их сумма отрицательна, а произведение положительно. Найдем дискриминант уравнения и применим теорему Виета, получим систему соотношений:
