PDF-версии: 1. Тип 15 № 484579 
Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Неравенства. Логарифмы и показательные выражения
i
Решите неравенство
Решение. Пусть 
тогда неравенство принимает вид:
Так как 
имеем 
а значит, 
Получаем:
Поясним: неравенство 
эквивалентно неравенству 
и выполнено для всех значений переменной. Итак,
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
484579
Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
тогда имеем:
тогда 
и неравенство принимает вид
откуда 
Корнем знаменателя является число 1. Найдём корни числителя:
тогда знаменатель положителен, числитель равен 
Полученное выражение отрицательно, поэтому на промежутке (1; +∞) дробь отрицательна.
тогда знаменатель отрицателен, числитель равен 
поэтому на на промежутке (0; 1) дробь положительна.
получаем
получаем 
получаем
получаем, что второй случай не даёт решений. 
сразу имеем x > 2. Поэтому 
Это значит, что 
Для первого неравенства имеем 
Второе неравенство выполнено всегда, поскольку 
при всех t из-за отрицательности дискриминанта (замена 
). Таким образом, 
на ОДЗ совпадает с знаком произведения 
поэтому имеем:
откуда
имеем 
и тогда для второго слагаемого получаем 
свести задачу к неравенству 
которое логарифмированием обеих частей по основанию 2 привести к неравенству 
и 
для любого x, воспользовавшись тождеством 
заключаем, что слагаемые в левой части неравенства равны. Тогда получаем:
неравенство верно. При 
основание степени больше 1, поэтому показатель степени должен быть неположительным:
не является решением неравенства. При 
получаем:
тогда 
Получаем 
откуда 
Имеем:
и поэтому решением неравенства являются два промежутка: 
и 
:
и сократив левую часть 
тогда получим
поскольку равносильны следующие неравенства:
откуда 
Поэтому второй множитель определен при 
он равен нулю (и вся левая часть вместе с ним). При 
получим:
при 
На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству 
имеем: 
откуда 
Преобразуем неравенство:
тогда
Тогда
Тогда
показатель степени в левой части неравенства меньше показателя степени, стоящей в правой части неравенства: 
Следовательно, неравенство верно, если основание степени не больше 1, откуда 
разложим полученный таким образом числитель на множители:
совпадает со знаком выражения 
а знак 
совпадает со знаком 
Заметив, что 
а 
получаем:
разложим на множители и применим метод рационализации:
или 
Неравенство записывается в виде 
откуда 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
во второй скобке получим 
откуда
Найдём нули левой части:
получаем 
— верно;
получаем 
— неверно;
получаем 
— верно;
получаем 
— неверно.
или 
то знаменатели отрицательны, тогда
или если 
тогда
При 
она возрастает как сумма возрастающих функций. Значит, 
тогда
Знаменатель определен при 
и отличен от нуля при 
то есть при 
и 
При таких значениях переменной знаменатель положительный, а значит, чтобы неравенство выполнялось, числитель дроби должен быть неположительным. Разложим на множители выражение: 
Левая часть полученного неравенства обращается в нуль при 
или при 
а значит, неравенство может выполняться при 
при 
или при 
Взяв пробные точки −13, −1 и 2,5, находим, что неравенство верно при 
или при при условии 
тогда
тогда
— возрастающая функция, значит, знак разности 
совпадет со знаком разности 
Получаем:
получим квадратное неравенство, решим его:
тогда
получаем:
тогда 
неравенство не определено. Если 
то левая часть неравенства (⁎) отрицательна и неравенство верно. Если 
то по неравенству о средних и свойству двух взаимно обратных чисел
Таким образом, 
или 
а потому знаменатель принимает лишь отрицательные значения. Умножим обе части неравенства на знаменатель, изменив знак неравенства на противоположный:
