Диа­го­наль AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне пря­мо­уголь­ни­ка, причём ∠BEC  =  120°.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CBE  =  ∠COE.

б)  Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если из­вест­но, что BE  =  40 и CE  =  24.

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Дан вы­пук­лый четырёхуголь­ник ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки LN и KM, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, делят друг друга по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD, если

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N, причём M  — се­ре­ди­на AD, а BN : NC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 48.

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го двумя про­ведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 40.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли АС и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Кроме того, во­круг него можно опи­сать окруж­ность. Из точек В и С опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры на пря­мую AD. Они пе­ре­се­ка­ют пря­мые АС и BD со­от­вет­ствен­но в точ­ках E и F.

а)  До­ка­жи­те, что BCFE  — ромб.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка BCFE к пло­ща­ди впи­сан­но­го в него круга, если BF : CE  =  3 : 4.

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АD в точке M, рав­но­уда­лен­ной от вер­шин В и D. 

а)  До­ка­жи­те, что BM и ВD делят угол В на три рав­ных угла.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой СМ, если

Диа­го­наль AC раз­би­ва­ет тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, из ко­то­рых AD боль­шее, на два по­доб­ных тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что ∠ABC = ∠ACD.

б)  Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если из­вест­но, что BC  =  18, AD  =  50 и

Точка M лежит на сто­ро­не BC вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD, причём B и C  — вер­ши­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с ос­но­ва­ни­я­ми AM и DM со­от­вет­ствен­но, а пря­мые AM и MD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при вер­ши­нах B и C четырёхуголь­ни­ка ABCD, пе­ре­се­ка­ют­ся на сто­ро­не AD.

б)  Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния этих бис­сек­трис. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что BM : MC  =  3 : 4, а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го лежат на пря­мых AM, DM, BN и CN, равна 24.

В тра­пе­ции ABCD точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD, точка M  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AMOE и тре­уголь­ни­ка COD равны.

б)  Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMOE, если BC  =  3, AD  =  4.

Дана тра­пе­ция ABCD с бо­ко­вой сто­ро­ной AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям. Из точки А на сто­ро­ну CD опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр AH. На сто­ро­не AB взята точка E так, что пря­мые СЕ и СD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­зать, что пря­мые BH и ED па­рал­лель­ны.

б)  Найти от­но­ше­ние BH к ED, если

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Диа­го­наль BD раз­би­ва­ет её на два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка с ос­но­ва­ни­я­ми AD и CD.

а)  До­ка­жи­те, что луч AC  — бис­сек­три­са угла BAD.

б)  Най­ди­те CD, если из­вест­ны диа­го­на­ли тра­пе­ции: AC  =  15 и BD  =  8,5.

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B пря­мо­уголь­ни­ка ABCD пер­пен­ди­ку­ляр­но диа­го­на­ли AC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке M, рав­но­удалённой от вер­шин B и D.

а)  До­ка­жи­те, что ∠ABM  =  ∠DBC  =  30°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра пря­мо­уголь­ни­ка до пря­мой CM, если BC  =  9.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K, так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­рез­ки CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции  ABCD.

Из­вест­но, что АBCD тра­пе­ция, АD = 2BC, AD, BC  — ос­но­ва­ния. Точка M та­ко­ва, что углы АBM и MCD пря­мые.

а)  До­ка­зать, что MA  =  MD.

б)  Рас­сто­я­ние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Най­ди­те угол BAD.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой AD  =  3BC, CM  — вы­со­та тра­пе­ции.

а)  До­ка­зать, что M делит AD в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до се­ре­ди­ны BD, если AD  =  18, AC  =  

Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 8 и 15. Сумма ос­но­ва­ний равна 17.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС, при­чем и точка M внут­ри тра­пе­ции, такая, что

а)  До­ка­жи­те, что АM  =  DM.

б)  Най­ди­те угол BAD, если угол CDA равен 50°, а вы­со­та, про­ведённая из точки M к АD, равна BC.

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD углы ABD и ACD пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что АВ  =  CD.

б)  Най­ди­те AD, если AB  =  2, BC  =  7.

Точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BС квад­ра­та АВСD. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к от­рез­кам АЕ и ЕС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BO : OD.

Дан квад­рат ABCD. На сто­ро­нах АВ и ВС от­ме­че­ны точки Р и К со­от­вет­ствен­но, при­чем ВР : АР  =  1 : 3, ВК : СК  =  3 : 13.

а)  До­ка­жи­те, что углы РDK и РСК равны.

б)  Пусть М  — точка пе­ре­се­че­ния CP и DK. Най­ди­те от­но­ше­ние длин от­рез­ков СM и PM.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Ра­ди­ус АО пер­пен­ди­ку­ля­рен ра­ди­у­су ОВ, а ра­ди­ус ОС пер­пен­ди­ку­ля­рен ра­ди­у­су OD.

а)  До­ка­жи­те, что ВС || AD.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АОВ, если длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки С на AD, равна 9, а длина от­рез­ка ВС в два раза мень­ше длины от­рез­ка AD.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС. Диа­го­на­ли АС и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, а пря­мые АВ и CD  — в точке К. Пря­мая КО пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны ВС и AD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но, и угол BAD равен 30°. Из­вест­но, что в тра­пе­ции ABMN и NMCD можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKD ту­по­уголь­ный.

б)  Найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка ВКС и тра­пе­ции ABCD.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те QN, если от­рез­ки DP и PC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MPQ, если пря­мая DP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PC, AB  =  25, BC  =  3, CD  =  28, AD  =  20.

На бо­ко­вой сто­ро­не CD тра­пе­ции ABCD от­ме­че­на точка M, ко­то­рая яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной этой сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка K, такая, что при­чем AD  =  2BC. Рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой AB равно 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB.

Точка Е  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не АВ взяли точку К так, что пря­мые СК и АЕ па­рал­лель­ны. От­рез­ки ВЕ и СК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что EL  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка КСЕ.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ВLC к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AKCD, если пло­щадь тра­пе­ции  ABCD равна 100, а ВС : AD  =  2 : 3.

На сто­ро­не АВ вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка АВCD вы­бра­на точка М так, что и Утро­ен­ный квад­рат от­но­ше­ния рас­сто­я­ния от точки А до пря­мой CD к рас­сто­я­нию от точки С до пря­мой AD равен 2, СD  =  20.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ACD рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те длину ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник АСD окруж­но­сти.

Точка A рас­по­ло­же­на вне квад­ра­та KLMN с цен­тром O, причём тре­уголь­ник KAN пря­мо­уголь­ный (∠A  =  90°) и AK  =  2AN. Точка B  — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BM па­рал­лель­на пря­мой AN.

б)  Пря­мая AO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ML квад­ра­та в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние LP : PM.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке KLMN точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон NK и LM со­от­вет­ствен­но. Диа­го­наль КМ делит точ­кой пе­ре­се­че­ния от­ре­зок PQ по­по­лам.

а)   До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN в 4 раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка PMN.

б)   Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го слу­жат се­ре­ди­ны сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN, если пло­щадь PMN равна KM  =  12, NL  =  8.

Точка M лежит на сто­ро­не BC вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, AB  =  BM, MC  =  CD. Бис­сек­три­сы углов ABC и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что BM : CM  =  1 : 3 и пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го пря­мы­ми AM, DM, BP и CP, равна 18.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом A. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка N такая, что CN  =  CD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка M, что AD  =  AM.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  7,

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD с ост­рым углом А. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD за точку D взята точка M, такая, что CM  =  СD, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D взята такая точка N, что AD  =  AN.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  BN.

б)  Най­ди­те MN, если AC  =  4,

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD длины ос­но­ва­ний AD и BC со­от­вет­ствен­но равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диа­го­на­ли BD, при­чем точка M рас­по­ло­же­на между точ­ка­ми B и N, а от­рез­ки AM и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны диа­го­на­ли BD.

а)  До­ка­жи­те, что BN : DM  =  3 : 4.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CN, если из­вест­но, что BM : DN  =  2 : 3.

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, BC и AD  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если AD  =  4BC,

Точки L и N  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний со­от­вет­ствен­но BC и AD тра­пе­ции ABCD, а точки K и M  — се­ре­ди­ны диа­го­на­лей AC и BD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пря­мые AB и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что LN  =  KM.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN равна 60, а раз­ность ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна 26.

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ELKA диа­го­на­ли EK и AL пер­пен­ди­ку­ляр­ны сто­ро­нам AK и EL со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AK и EL пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, а угол LMK равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что угол AOE, где O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка ELKA, равен 120°.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MO, если AK  =  3EL.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны бис­сек­три­сы всех внут­рен­них углов. Че­ты­рех­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния этих бис­сек­трис, имеет пло­щадь, рав­ную двум тре­тям пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис всех внут­рен­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин боль­шей и мень­шей сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD. На бо­ко­вой сто­ро­не AB и боль­шем ос­но­ва­нии AD взяты со­от­вет­ствен­но точки F и E так, что FE па­рал­лель­но CD, а

а)  До­ка­жи­те, что угол BCF равен углу AFE.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD , если и пло­щадь тра­пе­ции FCDE равна

Сто­ро­ны BC и CD квад­ра­та ABCD яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков BCM и DCN со­от­вет­ствен­но, точки M и N лежат вне квад­ра­та. Пря­мая AM пе­ре­се­ка­ет BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)   Най­ди­те KN, если

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол BAC вдвое боль­ше угла CAD. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в точке L. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D вы­бра­на такая точка E, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те EL, если

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­ем AD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, AD  =  2BC. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая па­рал­лель­ная диа­го­на­ли  BD, а через вер­ши­ну  D про­ве­де­на пря­мая па­рал­лель­ная диа­го­на­ли  AC, и эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что BO : AE  =  1 : 2.

б)  Пря­мые BE и CE пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те MN, если AD  =  10.

На сто­ро­нах AB, BC и AD квад­ра­та ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M , K и N, такие, что и

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN со­став­ля­ет пло­ща­ди квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN.

В тра­пе­ции АВCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD угол ABC пря­мой. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не CD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке M, а сто­ро­ну CD  — в точке N, DH  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки D к пря­мой MC.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВN равно

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции, если и

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD. На бо­ко­вой сто­ро­не AB и боль­шем ос­но­ва­нии AD взяты со­от­вет­ствен­но точки K и L так, что пря­мые KL и CD па­рал­лель­ны и CK  =  DL.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции АВСD, если и

В квад­ра­те ABCD точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки CP и DQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABF, если

B тра­пе­ции ABCD бо­ко­вая сто­ро­на AB пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям. Из точки A на сто­ро­ну CD опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ляр AH. На сто­ро­не AB от­ме­че­на точка E так, что пря­мые CD и CE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BH и ED па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BH к ED, если

В тра­пе­ции ABCD c ос­но­ва­ни­ем AD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а AD  =  2BC. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли BD, через вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли AC. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пря­мые BE и CE пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те MN, если AD  =  20.

На сто­ро­нах AB, BC и AD со­от­вет­ствен­но квад­ра­та ABCD взяты точки M, K и N, такие, что и

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN со­став­ля­ет пло­ща­ди квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN.

Ос­но­ва­ния AB и CD пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 11 и 7, а мень­шая бо­ко­вая сто­ро­на BC равна 4. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка P так, что Через точку P про­ве­де­на пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AD и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и Q.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка DPK от­но­сит­ся к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD как 1 : 4.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка CDPQ.

Дан ромб ABCD. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AD, пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль AC в точке M, диа­го­наль BD  — в точке N, при­чем AM : MC  =  1 : 2, BN : ND  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь ромба, если MN  =  5.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N от­ме­че­ны на бо­ко­вых сто­ро­нах AB и CD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N и O лежат на одной пря­мой.

6)  Най­ди­те если из­вест­но, что и

Бис­сек­три­са АМ остро­го угла А рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВМ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции равна

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ю­щая ее бо­ко­вые сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка этой пря­мой с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции, равна ее бо­ко­вой сто­ро­не.

6)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если и дан­ная пря­мая делит AB в от­но­ше­нии

Сто­ро­ны AB и AD квад­ра­та ABCD ка­са­ют­ся окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой втрое мень­ше сто­ро­ны квад­ра­та.

а)  До­ка­жи­те, что эта окруж­ность раз­би­ва­ет диа­го­наль BD на три рав­ных от­рез­ка.

б)  Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая через точку B, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке E. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если сто­ро­на квад­ра­та равна 18.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точки E и O  — се­ре­ди­ны сто­рон BC и АB со­от­вет­ствен­но, точка Q  — се­ре­ди­на от­рез­ка OD, точка F  — точка пе­ре­се­че­ния OC и ED.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая FQ делит AD в от­но­ше­нии 5 : 6.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка DQFC к пло­ща­ди ABCD.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Окруж­ность с диа­мет­ром AD пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну CD в точке M, а окруж­ность с диа­мет­ром CD пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке N. От­рез­ки AM и CN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что точка P лежит на диа­го­на­ли BD тра­пе­ции ABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до бо­ко­вой сто­ро­ны AB, если BC  =  17, AD  =  31.

Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции лежат на пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник с вер­ши­на­ми в се­ре­ди­нах диа­го­на­лей и в се­ре­ди­нах ос­но­ва­ний тра­пе­ции  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее мень­шее ос­но­ва­ние равно 7, а сто­ро­ны рас­смот­рен­но­го выше пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 2,5.

Точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD тра­пе­ции ABCD, а точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD и че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD, если и

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOB и COD равна сумме пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BOC и AOD, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC вдвое боль­ше, чем пло­щадь тре­уголь­ни­ка АОВ. Ме­ди­а­ны BK и BL тре­уголь­ни­ков ABD и DBC пе­ре­се­ка­ют от­ре­зок AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Найти KL, если

Точка F лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точку C. От­ре­зок AF пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль BD в точке E и сто­ро­ну CD в точке G. Из­вест­но, что от­ре­зок AE на 1 длин­нее от­рез­ка EG, а от­ре­зок GF равен 3.

а)  До­ка­жи­те, что G  — се­ре­ди­на CD.

б)  Какую часть пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE?

На сто­ро­нах BC и CD квад­ра­та ABCD от­ме­че­ны точки E и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AE  =  3, EK  =  2,

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCK.

На сто­ро­нах квад­ра­та BC и CD от­ме­че­ны точки K и E со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AK  =  3, KE  =  2,

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та ABCD.

В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что AB  =  CD.

б)  Най­ди­те AD, если

Бис­сек­три­са AM остро­го угла A рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии AN : NB  =  5 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и DN па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­са угла BAD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K, а про­дол­же­ние сто­ро­ны DC  — в точке P; диа­го­наль AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла KAD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те AC : AP, если AB : BC  =  3 : 8.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Бис­сек­три­сы углов LKN и LMN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Точки А и В от­ме­че­ны на бо­ко­вых сто­ро­нах KL и MN со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AK  =  AO и BM  =  BO.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, O и B лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те AK : AL, если из­вест­но, что KO  =  OM и LM : KN  =  7 : 17.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD точки M, N, K, P  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD и DA со­от­вет­ствен­но и яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка MNKP. AC и BD  — диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Точка  O  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AC и BD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник MNKP  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те диа­го­на­ли MK и PN че­ты­рех­уголь­ни­ка MNKP, если AC  =  4, BD  =  6,

Вер­ши­ны ромба рас­по­ло­же­ны (по одной) на сто­ро­нах па­рал­ле­ло­грам­ма.

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры ромба и па­рал­ле­ло­грам­ма сов­па­да­ют.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и па­рал­ле­ло­грам­ма, если из­вест­но, что сто­ро­ны ромба па­рал­лель­ны диа­го­на­лям па­рал­ле­ло­грам­ма, а диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма от­но­сят­ся как 2 : 3.

Бис­сек­три­са угла B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну AD в точке M. Диа­го­на­ли AC и BD па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка ABM, ка­са­ет­ся пря­мых BC и OM.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  От­рез­ки AC и BM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KODM, если OM  =  2.

В тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми ВС  =  6 и AD  =  8 на диа­го­на­ли АС от­ме­че­на точка О такая, что СО : ОА  =  2 : 3. Пря­мая ВО пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CD точке Е.

а)  До­ка­жи­те, что CE : DE  =  6 : 1.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СОЕ к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD угол BCD  — тупой. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой CD и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую AD в точке E. На про­дол­же­нии BE за точку E от­ме­че­на точка F такая, что DE  =  DF.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, F, С и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AF, если BD  =  10 и

Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям BC и AD, и пе­ре­се­ка­ю­щую бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок этой пря­мой внут­ри тра­пе­ции равен её бо­ко­вой сто­ро­не.

б)  Най­ди­те длину ос­но­ва­ния AD, если AO  =  CO, BC  =  31 и дан­ная пря­мая делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии AM : MB  =  4 : 5.