Ре­ше­ние. Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек  ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век  ― от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а в боль­шем клас­се  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло де­во­чек. Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: в одном клас­се  ― 22 де­воч­ки, в дру­гом  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х ра­бо­чих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но ра­бо­чих  — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата со­ста­вит В день на­чаль­ник будет дол­жен пла­тить ра­бо­чим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квад­ра­тич­ная функ­ция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, сле­до­ва­тель­но, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀  =  4,8. За­ме­тим, что точка ми­ни­му­ма не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ис­сле­ду­е­мая функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 4 или в точке 5. Най­дем и срав­ним эти зна­че­ния:

Таким об­ра­зом, на мно­же­стве на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 5. По­это­му не­об­хо­ди­мо на­пра­вить 5 ра­бо­чих на пер­вый объ­ект, 19 ра­бо­чих  — на вто­рой объ­ект. Зар­пла­та ра­бо­чих со­ста­вит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-⁠й объ­ект, 19 ра­бо­чих на 2-⁠й объ­ект; 461 у. е.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим бук­вой t время, про­шед­шее с на­чаль­но­го мо­мен­та вре­ме­ни. По­сколь­ку каж­дый ве­ло­си­пе­дист дви­жет­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам, то рас­сто­я­ние между ними может быть вы­чис­ле­но по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Рас­смот­рим f (t)  — квад­рат длины в каж­дый мо­мент вре­ме­ни, тогда

Итак, У дан­ной квад­ра­тич­ной функ­ции есть наи­мень­шее зна­че­ние, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при мин. Най­дем его:

Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми равно км и будет до­стиг­ну­то через мин.

Ответ: мин, км.

При­ме­ча­ние.

Усло­вие уточ­не­но ре­дак­ци­ей Решу ЕГЭ.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. При­мем объем бас­сей­на за 1. Пусть вна­ча­ле пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли бас­сей­на. Тогда время на­пол­не­ния бас­сей­на

Най­дем, при каком V по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние наи­мень­ше­го зна­че­ния. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, пе­ре­се­ка­ю­щая ось абс­цисс в точ­ках 20 и ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Абс­цис­са вер­ши­ны этой па­ра­бо­лы равна Эта ве­ли­чи­на лежит в ин­тер­ва­ле (0; 10), а зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на на дан­ном ин­тер­ва­ле и до­сти­га­ет­ся при Оста­лось за­ме­тить, что наи­боль­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­но, по­это­му оно со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му зна­че­нию

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В общем слу­чае можно ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной. Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 10). Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние ис­поль­зуя рав­но­силь­ность

Не­труд­но по­ка­зать, что это точка ми­ни­му­ма, в ко­то­рой функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на. В ре­зуль­та­те бас­сейн был налит пол­но­стью.

Из­вест­но, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (не­ра­вен­ство Коши).

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби имеет наи­боль­шее зна­че­ние в точке А это зна­чит: имеет наи­мень­шее зна­че­ние в точке (зна­че­ние V при­над­ле­жит за­дан­но­му про­ме­жут­ку). Сле­до­ва­тель­но, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное зна­че­ние в той же точке При этом

Итак, при по­лу­чим А это зна­чит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наи­мень­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние. Пусть x  — ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых кон­тей­не­ров типа А, y  — ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров типа В, Тогда вес кон­тей­не­ров типа А со­ста­вит т, типа В  — 5у т. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Кроме того, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

Пусть S  — сум­мар­ная сто­и­мость всех кон­тей­не­ров. Тогда S  =  5x + 7y. Нам пред­сто­ит ис­сле­до­вать функ­цию S(x, y) на наи­боль­шее зна­че­ние при за­дан­ных усло­ви­ях.

Имеем: зна­чит,

Най­дем, при каком зна­че­нии у вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

По­сколь­ку x, y, а также сто­и­мо­сти кон­тей­не­ров  — числа на­ту­раль­ные, то Зна­чит,

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ное ре­ше­ние:

Вы­чис­лим зна­че­ние x при

Итак, ис­ко­мое зна­че­ние 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

При­ведём ариф­ме­ти­че­ское ре­ше­ние.

За­ме­тим, что кон­тей­нер типа А при­но­сит 2,5 млн руб. за тонну, а кон­тей­нер типа В  — 1,4 млн руб. за тонну, по­это­му кон­тей­не­ров типа А долж­но быть как можно боль­ше, а кон­тей­не­ров типа В как можно мень­ше. По усло­вию, на каж­дые 4 кон­тей­не­ра типа А долж­но при­хо­дить­ся не менее 5 кон­тей­не­ров типа B. Пусть кон­тей­не­ров типа А будет 4x, а кон­тей­не­ров типа B  — 5x, их общий вес со­ста­вит 8x + 25x  =  33x тонн. Гру­зо­подъёмность баржи 134 тонны, по­это­му наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние x  =  4.

Если x  =  4, то на баржу можно за­гру­зить 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B, их сто­и­мость со­ста­вит 80 + 140  =  220 млн руб. При этом баржа будет не­до­гру­же­на на 2 тонны. За­ме­ним два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В. Сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­став­ля­ет 70 + 147  =  217 млн руб., при этом баржа не­до­гру­же­на на 1 тонну. Можно было бы за­гру­зить баржу пол­но­стью, за­ме­нив ещё два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В, но при этом общая сто­и­мость кон­тей­не­ров снова бы сни­зи­лась на 3 млн руб. Из этого сле­ду­ет, что оп­ти­маль­но не за­гру­жать баржу пол­но­стью, а за­гру­зить на неё 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа В общей сто­и­мо­стью 220 млн руб.

При­ме­ча­ние.

Про­ве­рять из­ме­не­ние сто­и­мо­сти при до­за­груз­ке не пол­но­стью на­гру­жен­ной баржи  — обя­за­тель­ная часть ре­ше­ния. На­при­мер, если бы кон­тей­нер типа В стоил 11 млн руб., а дру­гие дан­ные за­да­чи не по­ме­ня­лись бы, то сто­и­мость 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B со­ста­ви­ла бы 80 + 220  =  300 млн руб. (не­до­гру­же­но 2 тонны), сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­ста­ви­ла бы 70 + 231  =  301 млн руб. (не­до­гру­же­на 1 тонна), а сто­и­мость 12 кон­тей­не­ров типа А и 22 кон­тей­не­ров типа В со­ста­ви­ла бы 302 млн руб.  — баржа за­гру­же­на пол­но­стью, при­быль мак­си­маль­на, даль­ней­шая за­ме­на кон­тей­не­ров типа А на кон­тей­не­ры типа В при­во­дит к умень­ше­нию при­бы­ли.

См. также ре­ше­ние за­да­ния 513295.

Ре­ше­ние. Пусть ра­бо­чие пер­во­го за­во­да за не­де­лю про­из­во­дят x при­бо­ров, вто­ро­го за­во­да  — y при­бо­ров, и пусть вы­пол­не­но усло­вие. x + y  =  20. Тогда доля че­ло­ве­ко-часов, за­тра­чен­ных на пер­вом за­во­де, со­ста­вит 4x³, а на вто­ром  — y³. Таким об­ра­зом, Лео­ни­ду при­дет­ся за­пла­ни­ро­вать на опла­ту труда ра­бо­чих обоих за­во­дов тысяч руб­лей в не­де­лю. Так как y  =  20 − x, то

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

Ис­ко­мый ко­рень по­ло­жи­те­лен, он равен За­ме­тим, что на это един­ствен­ная точка экс­тре­му­ма. Если она ока­жет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции, то функ­ция имен­но в этой точке и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния. Най­дем

Итак, кри­ти­че­ская точка функ­ции точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции S(x).

По­сколь­ку ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных при­бо­ров будет вы­ра­жать­ся чис­лом на­ту­раль­ным, то наи­мень­шая сумма, не­об­хо­ди­мая для вы­пла­ты ра­бо­чим, будет до­стиг­ну­та либо при x  =  6, либо при x  =  7. Срав­ним эти зна­че­ния:

Итак, ис­ко­мая сумма 3 569 000 руб­лей.

Ответ: 3 569 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, а ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти оди­на­ко­во эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют и алю­ми­ний, и ни­кель, они могут до­бы­вать любой из ме­тал­лов. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,1  =  80 кг ме­тал­ла.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют t ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − t ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных t, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При t мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при t боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 120 кг ме­тал­ла.

Ответ: 120 кг.

Ре­ше­ние. Пер­вое ре­ше­ние:

Из усло­вия «на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-смен» сле­ду­ет, что ра­бо­та­ю­щие на за­во­де 100 че­ло­век за смену смо­гут про­из­ве­сти мак­си­мум 10 де­та­лей од­но­го типа.

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, а осталь­ные 100 − х ра­бо­чих про­из­во­дят де­та­ли типа В, и пусть на вто­ром ком­би­на­те из 10 де­та­лей про­из­во­дит­ся y де­та­лей типа А и 10 − y де­та­лей типа В. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат		y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт.  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных целых зна­че­ни­ях y, не боль­ших 10.

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая. Наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке она при­ни­ма­ет при при этом а

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство из­де­лий за смену будет со­бра­но, если на вто­ром за­во­де будут из­го­тав­ли­вать толь­ко де­та­ли типа В (100 ра­бо­чих из­го­то­вят 10 де­та­лей типа В), а на пер­вом за­во­де 11 че­ло­век из­го­то­вят 33 де­та­ли типа А, а осталь­ные 89 ра­бо­чих из­го­то­вят 89 де­та­лей типа В. Итого по­лу­чим 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В, на про­из­вод­стве ко­то­рых были за­ня­ты все 200 че­ло­век.

Зна­чит, ком­би­нат смо­жет со­брать за смену 33 из­де­лия.

Ответ: 33 из­де­лия.

За­ме­ча­ние.

Вна­ча­ле мы про­чли усло­вие иначе и по­ла­га­ли, что на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей каж­до­го типа (и А, и В не­за­ви­си­мо друг от друга) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен. При­ведём ре­ше­ние и при­ме­ча­ния к нему для та­ко­го по­ни­ма­ния усло­вия. К этому же по­ни­ма­нию усло­вия от­но­сят­ся ком­мен­та­рии чи­та­те­лей.

Вто­рое ре­ше­ние:

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих, а на вто­ром ком­би­на­те y ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат	y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях y не боль­ших 100. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти, рав­ным при этом Ко­ли­че­ство де­та­лей долж­но быть на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ра­бо­чие могут про­из­ве­сти, самое боль­шее, 33 де­та­ли типа А.

Из (*) на­хо­дим чел. Это озна­ча­ет, что 10 ра­бо­чиx пер­во­го ком­би­на­та и 10 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, за сутки они про­из­ве­дут их 33 шт, остав­ши­е­ся 90 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та и 90 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­лей В, за сутки они про­из­ве­дут их 99 шт.

Ответ: 33 из­де­лия.

При­ме­ча­ние 1.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель мог бы за­дать во­прос о том, по­че­му в ра­вен­стве (*) пред­по­ла­га­ет­ся, что де­та­лей про­из­во­дит­ся ровно в от­но­ше­нии 1 : 3. Ведь можно про­из­ве­сти, на­при­мер, 11 де­та­лей типа B и 34 де­та­ли типа А, из них по­лу­чит­ся со­брать 33 из­де­лия, а одна де­таль типа А оста­нет­ся лиш­ней. От­ве­тим на этот во­прос.

Если есть лиш­ние де­та­ли, то умень­шим их число до со­от­но­ше­ния 1 : 3 и от­пра­вим на обед людей, про­из­во­див­ших лиш­ние де­та­ли. Тогда по­лу­чим ре­ше­ние за­да­чи для мень­ше­го числа людей, но с тем же вы­хо­дом про­дук­та и со­от­но­ше­ни­ем де­та­лей 1 : 3. Те­перь вернём людей с обеда. Мень­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий мы не по­лу­чим, по­сколь­ку за­ви­си­мость между чис­лом де­та­лей и ко­ли­че­ством людей не­убы­ва­ю­щая. Боль­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий тоже не до­стичь, по­сколь­ку из лиш­них де­та­лей це­ло­го из­де­лия со­брать не по­лу­чит­ся. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий сов­па­дет с най­ден­ным.

При­ме­ча­ние 2.

За­ме­тим, что если ра­бо­чие вто­ро­го ком­би­на­та будут про­из­во­дить толь­ко де­та­ли типа В, то они про­из­ве­дут их 10 шт. Пусть при этом 89 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 89 де­та­лей типа В, а остав­ши­е­ся 11 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 33 де­та­ли типа А. Тогда всего будет про­из­ве­де­но 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В. Из них также можно со­брать 33 из­де­лия. Таких ва­ри­ан­тов до­воль­но много (см. таб­ли­цу в конце).

При­ме­ча­ние 3.

Можно было бы спро­сить, по­че­му не об­ра­зо­вать из ра­бо­чих вто­ро­го за­во­да 100 не­за­ви­си­мых групп, каж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из од­но­го ра­бо­че­го.

При­ведём ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва.

Пусть пер­вый завод вы­пус­ка­ет x де­та­лей В, а вто­рой завод вы­пус­ка­ет y де­та­лей В. Тогда на пер­вом за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет x ра­бо­чих, а де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му пер­вый завод вы­пус­ка­ет де­та­лей А.

На вто­ром за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет ра­бо­чих, де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му вто­рой завод вы­пус­ка­ет де­та­лей A. Здесь   — целая часть числа.

Пусть ком­би­нат вы­пус­ка­ет k из­де­лий. Имеем сле­ду­ю­щие не­об­хо­ди­мые и до­ста­точ­ные усло­вия:

Рас­смот­рим Тогда по­лу­чим:

До­мно­жим вто­рое не­ра­вен­ство на 3 и сло­жим с пер­вым, по­лу­чим: За­ме­тим, что (при ) удо­вле­тво­ря­ют ис­ход­но­му не­ра­вен­ству. То есть ком­би­нат может из­го­то­вить 33 из­де­лия.

Про­ве­рим, может ли он из­го­то­вить боль­ше. Пусть тогда

По­сколь­ку те­перь мы можем счи­тать из вто­ро­го не­ра­вен­ства на­хо­дим Тогда оце­ним: По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие с пер­вым не­ра­вен­ством.

Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное число из­де­лий, ко­то­рое может про­из­ве­сти ком­би­нат, равно 33.

При­ведём таб­ли­цу дру­гих ва­ри­ан­тов, также да­ю­щих 33 из­де­лия.

Ре­ше­ние. Пусть x  — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой, а y  — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой. Тогда x + y  =  1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой  — 75y тонн. Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что от­ку­да а от­ку­да При­быль за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70  =  30 тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна 135 − 100  =  35 тыс. руб., общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции равна Таким об­ра­зом, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S (x, y)  =  75 · (36x + 35y) при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Под­став­ляя у  =  1 − x в вы­ра­же­ние 36x + 35y, по­лу­ча­ем: 36x + 35(1 − x)  =  x + 35. Наи­боль­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния при усло­вии до­сти­га­ет­ся при тогда

По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна:

при этом фаб­ри­ка про­из­во­дит 72 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой и 15 тонн блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой.

Ответ: 2685 тыс. руб.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Тонна блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой при­но­сит 35 тыс. руб., а тонна блин­чи­ков с ягод­ной  — 30 тыс. руб. При этом 1 тонне блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой со­от­вет­ству­ет 1,2 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой. За­ме­тим, что 1 т · 35 тыс. руб.  <  1,2 т · 30 тыс. руб.  =  36 т · 1 тыс. руб., по­это­му более вы­год­но про­из­во­дить блин­чи­ки с ягод­ной на­чин­кой. Зна­чит, блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой не­об­хо­ди­мо про­из­во­дить 15 тонн, а блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой  — 90 − 15 · 1,2  =  72 тонны, что даст 15 · 35 + 72 · 30  =  2685 тыс. руб. при­бы­ли.

Ре­ше­ние. Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

по­это­му для не­ко­то­ро­го угла по­это­му

для не­ко­то­ро­го вспо­мо­га­тель­но­го угла с Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние суммы Оно до­сти­га­ет­ся при то есть для зна­че­ний, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции. Вы­ра­зим y через Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Не­труд­но за­ме­тить, что    — точка мак­си­му­ма функ­ции, при этом Усло­вия вы­пол­не­ны. Зна­чит,

При­ведём тре­тий ва­ри­ант ре­ше­ния.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции.

по­это­му урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. За­ме­тим, что урав­не­ние за­да­ет се­мей­ство па­рал­лель­ных пря­мых. Мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние C такое, что пря­мая имеет общие точки с окруж­но­стью. Из всех пря­мых се­мей­ства пе­ре­се­ка­ю­щих окруж­ность, наи­боль­шее зна­че­ние C будет до­сти­гать­ся в слу­чае ка­са­ния.

Про­ве­дем из на­ча­ла ко­ор­ди­нат в пер­вый ко­ор­ди­нат­ный квад­рант век­тор пер­пен­ди­ку­ляр­ный пря­мым Луч, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру пе­ре­сечёт окруж­ность в точке Это и будет точка ка­са­ния в ко­то­рой до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние Усло­вия для точки вы­пол­не­ны. Зна­чит,

Ответ: 1682.

Ре­ше­ние. Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го  — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром  — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее целое зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём ее про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f (x) по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f (x) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­та­ют сум­мар­но а на вто­ром  — часов в не­де­лю. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

Вы­ра­зим y из пер­во­го со­от­но­ше­ния: под­ста­вим в (*), по­лу­чим урав­не­ние:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит, и чет­верть дис­кри­ми­нан­та:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 500. По­ка­жем, что оно до­сти­га­ет­ся при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных: дей­стви­тель­но, из (**) на­хо­дим, что зна­че­нию со­от­вет­ству­ет а тогда

Ответ: 500 еди­ниц то­ва­ра.

Ре­ше­ние. При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

Под­став­ляя, на­хо­дим, что наи­боль­шее зна­че­ние равно При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб., если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p  =  9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p  =  9.

При­ме­ча­ние.

Можно было сразу вос­поль­зо­вать­ся тем, что экс­тре­мум квад­рат­но­го трех­чле­на равен

При­ве­дем за­ме­ча­ние Ели­за­ве­ты Не­сме­я­но­вой.

При цене 9 тыс. руб­лей за еди­ни­цу про­дук­ции при­быль со­ста­вит 75 млн руб­лей толь­ко в том слу­чае, если будет про­из­ве­де­но 8 тыс. еди­ниц про­дук­ции. Если ко­ли­че­ство про­из­ве­ден­ной про­дук­ции будет дру­гим, то при­быль будет мень­ше. Сле­до­ва­тель­но, во­прос за­да­чи сле­до­ва­ло бы сфор­му­ли­ро­вать так: «При каком наи­мень­шем зна­че­нии p при­быль может со­ста­вить не менее 75 млн руб­лей?»

За­ме­тим, что во всех за­да­чах по­доб­но­го типа пред­по­ла­га­ет­ся, что пред­при­я­тие про­из­во­дит про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при за­дан­ной цене при­быль была мак­си­маль­на.

Ре­ше­ние. Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб. не­об­хо­ди­мо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

от­ку­да, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским, по­лу­ча­ем:

Удо­сто­ве­рим­ся, что это зна­че­ние па­ра­мет­ра до­сти­га­ет­ся, то есть су­ще­ству­ет ко­ли­че­ство про­дук­ции x, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся эта цена.

Таким об­ра­зом, при p  =  10 (цене 10 тыс. руб) и x  =  8 (про­из­вод­стве 8 тыс. еди­ниц про­дук­ции), завод оку­пит­ся за три года.

Ответ: p  =  10.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское не­от­ри­ца­тель­ных чисел не мень­ше их сред­не­го гео­мет­ри­че­ско­го. Иными сло­ва­ми, если то или при­чем не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства тогда и толь­ко тогда, когда числа равны. По­след­ним не­ра­вен­ством мы и вос­поль­зо­ва­лись в ре­ше­нии:

При­ве­дем ре­ше­ние То­фи­га Али­е­ва.

Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб., не­об­хо­ди­мо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

Левая часть не­ра­вен­ства за­да­ет па­ра­бо­лу с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз, наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в вер­ши­не при

Таким об­ра­зом, завод будет вы­пус­кать про­дук­цию в ко­ли­че­стве при этом цена со­ста­вит и наи­мень­ше­му зна­че­нию будет со­от­вет­ство­вать наи­мень­шее зна­че­ние p. Под­ста­вив вы­ра­же­ние для p в не­ра­вен­ство (⁎), по­лу­чим

от­ку­да Ко­ли­че­ство вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции долж­но быть по­ло­жи­тель­ной ве­ли­чи­ной, по­это­му ми­ни­маль­ное зна­че­ние равно 8, при этом цена будет равна 8 + 2  =  10.

Ре­ше­ние. Про­да­вать свек­лу более вы­год­но, по­это­му вто­рое поле, где ее уро­жай­ность выше, сле­ду­ет за­се­ять толь­ко свек­лой. Она при­не­сет доход 10 га · 500 ц/га · 8000 руб./⁠ц  =  40 млн руб.

На пер­вом поле уро­жай­ность свек­лы со­став­ля­ет 300/500  =  0,6 уро­жай­но­сти кар­то­фе­ля, а сто­и­мость свек­лы 8000/⁠5000  =  1,6 сто­и­мо­сти кар­то­фе­ля. Про­из­ве­де­ние этих по­ка­за­те­лей мень­ше 1, по­это­му вы­ра­щи­вать свек­лу не­вы­год­но: по­те­ри от мень­шей уро­жай­но­сти не ком­пен­си­ру­ют­ся более вы­со­кой вы­руч­кой. Сле­до­ва­тель­но, все поле сле­ду­ет за­са­дить кар­то­фе­лем, он при­не­сет доход 10 га · 500 ц/⁠га · 5000 руб./⁠ц  =  25 млн руб.

Тем самым, наи­боль­ший воз­мож­ный доход фер­ме­ра равен 65 млн руб.

Ответ: 65 млн руб.

Ре­ше­ние. Пусть в отеле будет х но­ме­ров пло­ща­дью 30 кв. м и у но­ме­ров пло­ща­дью 40 кв. м. Тогда или (*). При­быль, ко­то­рую будут при­но­сить эти но­ме­ра, равна или При­быль будет наи­боль­шей при наи­боль­шем зна­че­нии суммы Пусть тогда от­ку­да, под­став­ляя в (*), по­лу­ча­ем:

В слу­чае точ­но­го ра­вен­ства наи­боль­ше­му зна­че­нию суммы s со­от­вет­ство­ва­ло бы наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны у. В слу­чае стро­го­го не­ра­вен­ства не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние y и про­ве­рить боль­шие зна­че­ния, умень­ша­ю­щие ко­ли­че­ство пу­сто­го про­стран­ства.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние у равно 0. По­сколь­ку в го­сти­ни­це можно от­крыть 31 стан­дарт­ный номер и не от­кры­вать но­ме­ра люкс. В этом слу­чае но­ме­ра будут при­но­сить пред­при­ни­ма­те­лю доход руб. в сутки, и при этом оста­нет­ся 10 кв. м не­за­ня­то­го про­стран­ства. Умень­шим на 1 ко­ли­че­ство стан­дарт­ных но­ме­ров. Если в го­сти­ни­це 30 стан­дарт­ных но­ме­ров и 1 люкс, не­за­ня­то­го про­стран­ства не оста­ет­ся: В этом слу­чае доход будет равен руб. Даль­ней­шее умень­ше­ние ко­ли­че­ства стан­дарт­ных но­ме­ров в поль­зу люк­сов при­ве­дет к умень­ше­нию при­бы­ли.

Ответ: 125 000 руб.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем до­ход­ность на еди­ни­цу за­ни­ма­е­мой пло­ща­ди. Для но­ме­ра «люкс» она со­став­ля­ет руб./кв. м. Для обыч­но­го но­ме­ра до­ход­ность равна руб./кв. м. Таким об­ра­зом, обыч­ный номер при­но­сит боль­ший доход с квад­рат­но­го метра пло­ща­ди, по­это­му раз­ме­щать обыч­ные но­ме­ра вы­год­нее, чем но­ме­ра «люкс».

На пло­ща­ди 940 кв. м можно раз­ме­стить 31 обыч­ный номер, при этом доход со­ста­вит 31 · 4000  =  124 000 руб., и оста­нет­ся 10 кв. м сво­бод­ной пло­ща­ди.

Будем умень­шать ко­ли­че­ство оста­ю­щей­ся сво­бод­ной пло­ща­ди, раз­ме­щая но­ме­ра «люкс» и умень­шая ко­ли­че­ство обыч­ных но­ме­ров. Для од­но­го но­ме­ра «люкс» и 30 обыч­ных за­ни­ма­е­мая пло­щадь 940 кв. м., доход 125 000 руб. Для двух но­ме­ров «люкс» и 28 обыч­ных за­ни­ма­е­мая пло­щадь 920 кв. м, доход 122 000 руб. Раз­ме­щать три и более но­ме­ра «люкс» нет смыс­ла, по­сколь­ку на той пло­ща­ди (120 кв. м), где могут раз­ме­стить­ся три но­ме­ра «люкс», при­но­ся­щие доход 3 · 5000  =  15000 руб., можно раз­ме­стить че­ты­ре обыч­ных но­ме­ра с до­хо­дом 4 · 4000  =  16000 руб.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ный доход будет по­лу­чен при раз­ме­ще­нии 30 обыч­но­го но­ме­ра и 1 но­ме­ра «люкс», ко­то­рые зай­мут всю до­ступ­ную пло­щадь 940 кв. м. Этот мак­си­маль­ный доход со­став­ля­ет 125 000 руб. в сутки.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вой шахте на до­бы­че алю­ми­ния за день будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой шахте − y че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг
Шахта 1	x	x
Шахта 2	y	2y
Всего

По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать вдвое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Пусть s  — масса спла­ва, она втрое боль­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля: Най­дем наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него :

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние y. Из ясно, что наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y равно 350, при этом х  =  0, Это озна­ча­ет, что 350 че­ло­ве­ко-часов во вто­рой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи алю­ми­ния, а остав­ши­е­ся 150 че­ло­ве­ко-⁠часов во вто­рой шахте и все 100 че­ло­ве­ко-⁠часов в пер­вой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля. При этом будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса спла­ва будет равна 1050 кг.

Ответ: 1050 кг.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

На пер­вой шахте наи­бо­лее эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют ни­кель. Пусть все 100 че­ло­ве­ко-часов в пер­вой шахте будут за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля, тогда его до­бу­дут на ней 200 кг. Для по­лу­че­ния с спла­ва с до­бы­тым на пер­вой шахте ни­ке­лем на вто­рой шахте не­об­хо­ди­мо до­быть 400 кг алю­ми­ния, с этим спра­вят­ся 40 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов каж­дый. Из остав­ших­ся 60 ра­бо­чих вто­рой шахты можно по­ло­ви­ну на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, а вто­рую по­ло­ви­ну  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они про­из­ве­дут 150 кг ни­ке­ля и 300 кг алю­ми­ния. При этом всего будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса общая спла­ва будет равна 1050 кг.

По­ка­жем, что луч­шей про­из­во­ди­тель­но­сти не до­стичь: дей­стви­тель­но, ра­бо­чие не про­ста­и­ва­ют, ме­тал­ла не до­бы­ва­ет­ся с из­быт­ком. Если же на пер­вой шахте за kn че­ло­ве­ко-⁠часов вме­сто 2kn кг ни­ке­ля до­бу­дут kn кг алю­ми­ния, то для про­из­вод­ства спла­ва на вто­рой шахте по­тре­бу­ет­ся до­быть 0,5kn ни­ке­ля вме­сто воз­мож­ных kn кг алю­ми­ния. При таком рас­пре­де­ле­нии уси­лий ра­бо­чих вме­сто воз­мож­ных 3kn кг спла­ва будет про­из­ве­де­но 1,5kn кг спла­ва, то есть труд будет не­эф­фек­тив­ным.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в сутки может быть за­тра­че­но 200 че­ло­ве­ко-⁠часов труда. При этом в пер­вой об­ла­сти будет до­бы­то 0,2 · 200  =  40 кг ме­тал­лов. Пусть в ней будет до­бы­то y кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то (40 − y) кг. Пусть во вто­рой об­ла­сти будет до­бы­то x кг алю­ми­ния, тогда ни­ке­ля будет до­бы­то кг.

Для про­из­вод­ства спла­ва за­во­ду не­об­хо­ди­мо по­лу­чить рав­ное ко­ли­че­ство алю­ми­ния и ни­ке­ля, по­это­му долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

При этом масса спла­ва будет равна сумме масс всех ме­тал­лов:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого най­дем про­из­вод­ную функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Ука­жем знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке:

Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма при Из ра­вен­ства (*) для на­хо­дим Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(x) равно

Таким об­ра­зом, завод смо­жет про­из­во­дить 60 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 1 кг ни­ке­ля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут х кг алю­ми­ния и (20 − х) кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, n ра­бо­чих до­бы­ва­ют кг лю­бо­го из ме­тал­лов, по­это­му вме­сте бри­га­ды до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать втрое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Ко­ли­че­ству ни­ке­ля со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ство спла­ва Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при на­ту­раль­ных y не боль­ших 20.

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти.

Далее имеем: из (*) Это озна­ча­ет, что все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алю­ми­ния, за сутки они про­из­ве­дут его 20 кг, а ра­бо­чие вто­рой об­ла­сти бри­га­да­ми по 10 и 10 че­ло­век долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния и ни­ке­ля, они до­бу­дут их по 10 кг. Всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля, из них будет про­из­ве­де­но 40 кг спла­ва.

Ответ: 40 кг.

При­ве­дем ре­ше­ние Ольги Ты­нья­но­вой.

Най­дем мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство ме­тал­ла, ко­то­рое может быть до­бы­то в двух об­ла­стях.

В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг ме­тал­ла (алю­ми­ния или ни­ке­ля), по­это­му общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла равно 0,1 · 20 · 10  =  20 кг.

Пусть во вто­рой об­ла­сти до­бы­то х кг алю­ми­ния, тогда на его до­бы­чу будет за­тра­че­но x² часов, и на до­бы­чу ни­ке­ля можно будет за­тра­тить 200 − x² часов, при этом будет до­бы­то кг ни­ке­ля.

Общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го во вто­рой об­ла­сти ме­тал­ла со­ста­вит

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При x  =  10 функ­ция f(x) до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния, рав­но­го 20.

Таким об­ра­зом, во вто­рой об­ла­сти мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла со­став­ля­ет 20 кг при усло­вии, что до­бы­ва­ет­ся 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля.

Сле­до­ва­тель­но, общее ко­ли­че­ство ме­тал­ла, до­бы­то­го в двух об­ла­стях, не может быть боль­ше 40 кг, а сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство про­из­ве­ден­но­го за­во­дом спла­ва также не может быть боль­ше 40 кг.

По­ка­жем, что ко­ли­че­ство спла­ва может быть равно 40 кг.

При мак­си­маль­ном про­из­вод­стве ме­тал­ла во вто­рой об­ла­сти там будет до­бы­то 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля. Если в пер­вой об­ла­сти все ра­бо­чие будут за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, то его будет до­бы­то 20 кг. Сле­до­ва­тель­но, всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния, и на 1 кг ни­ке­ля будет при­хо­дит­ся 3 кг алю­ми­ния, как и тре­бу­ет­ся для про­из­вод­ства спла­ва.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство спла­ва, ко­то­рое может про­из­ве­сти завод, равно 40 кг.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в день может быть за­тра­че­но 1000 че­ло­ве­ко-часов труда.

Пусть в пер­вой об­ла­сти на до­бы­че алю­ми­ния еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-⁠часов, а во вто­рой об­ла­сти  — y² че­ло­ве­ко-⁠часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг
Пер­вая об­ласть	x	0,3x
Вто­рая об­ласть		y
Всего

Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть равна массе до­бы­то­го ни­ке­ля:

Пусть m  — масса спла­ва, она равна сумме масс до­бы­тых ме­тал­лов:

Учи­ты­вая ра­вен­ство имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(y) равно Зна­чит, завод смо­жет про­из­во­дить 200 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть на­прав­ле­ны на до­бы­чу ни­ке­ля, ко­то­рый они до­бы­ва­ют втрое более эф­фек­тив­но, чем алю­ми­ний. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,3  =  240 кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют y ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − y ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

для не­от­ри­ца­тель­ных целых y, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При y мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при y боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 280 кг ме­тал­ла.

Ответ: 280 кг.

При­ме­ча­ние.

Можно было обой­тись без про­из­вод­ной. На­пом­ним, что наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке и равно До­ка­за­тель­ство можно по­лу­чить, на­при­мер, воз­ве­де­ни­ем в квад­рат.

В нашем слу­чае по­это­му ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точке, где то есть при

При­ведём гео­мет­ри­че­ское ре­ше­ние.

Пусть во вто­рой об­ла­сти на до­бы­чу алю­ми­ния будет от­ве­де­но че­ло­ве­ко-часов, а на до­бы­чу ни­ке­ля  — че­ло­ве­ко-часов. Всего ра­бо­чих 160, ра­бо­тая по 5 часов, они вы­ра­ба­ты­ва­ют 800 че­ло­ве­ко-часов в сутки, по­это­му Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ных тре­бу­ет­ся опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние ко­ли­че­ства до­бы­то­го ме­тал­ла Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо опре­де­лить наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра s, при ко­то­ром пря­мая, за­да­ва­е­мая урав­не­ни­ем будет иметь с окруж­но­стью общие точки, ле­жа­щие в пер­вой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти.

Из ри­сун­ка видно, что точка ка­са­ния яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния долж­ны удо­вле­тво­рять урав­не­нию окруж­но­сти. Тогда от­ку­да при

Ре­ше­ние. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на ты­ся­чу, а куп­ле­на она в пер­вый год за 8 тыс. руб., по­это­му на k-⁠й год бу­ма­га будет сто­ить тыс. руб­лей. Если Алек­сей про­даст бу­ма­гу в те­че­ние k-⁠го года, то через два­дцать пять лет после по­куп­ки сумма на его счёте будет равна Таким об­ра­зом, нам нужно найти номер мак­си­маль­но­го члена

по­сле­до­ва­тель­но­сти где k про­бе­га­ет целые зна­че­ния от 1 до 25. Рас­смот­рим при­ра­ще­ние

От­сю­да при и при Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние по­сле­до­ва­тель­ность a_k при­ни­ма­ет при

Ответ: в те­че­ние ше­сто­го года.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­дать цен­ную бу­ма­гу нужно в тот мо­мент, когда 8% от сто­и­мо­сти ста­нут со­став­лять не мень­ше чем 1 тыс. руб­лей, что воз­мож­но при сто­и­мо­сти бу­ма­ги не менее 12,5 тыс. руб­лей. Это про­изой­дет через пять лет после по­куп­ки цен­ной бу­ма­ги (8 + 5 · 1  =  13). Таким об­ра­зом, цен­ную бу­ма­гу нужно про­дать в те­че­ние ше­сто­го года (сразу по про­ше­ствии пяти лет).

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. Для этого ра­бо­чие в каж­дой из об­ла­стей долж­ны ра­бо­тать по 5 часов в сутки. Всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния: за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в три раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки в пер­вой об­ла­сти до­бу­дут кг алю­ми­ния.

Во вто­рой об­ла­сти 90 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов, за­тра­тят на до­бы­чу ме­тал­ла 450 че­ло­ве­ко-часов. Пусть x че­ло­ве­ко-⁠часов они за­тра­тят на до­бы­чу алю­ми­ния, тогда 450 − x часов будет за­тра­че­но на до­бы­чу ни­ке­ля. Всего будет до­бы­то кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [0; 450]. При­ме­няя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним квад­ра­тич­ным, по­лу­ча­ем:

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да При най­ден­ном зна­че­нии х будет до­бы­то кг ме­тал­ла (15 кг алю­ми­ния и 15 кг ни­ке­ля).

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 135 + 30  =  165 кг.

Ответ: 165 кг.

Ре­ше­ние. В каж­дой об­ла­сти в день может быть за­тра­че­но 500 че­ло­ве­ко-часов труда.

Пусть в пер­вой об­ла­сти на до­бы­че алю­ми­ния еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой об­ла­сти − y² че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Масса ме­тал­ла за день, кг
Пер­вая об­ласть	x	0,2x
Вто­рая об­ласть		y
Всего

Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть вдвое мень­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля:

Пусть m  — масса спла­ва, она равна сумме масс до­бы­тых ме­тал­лов:

Учи­ты­вая ра­вен­ство имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(y) равно Зна­чит, завод смо­жет про­из­во­дить 90 кг спла­ва еже­днев­но.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Пусть акции про­да­ны в конце года t за t² тыс. руб., и по­лу­чен­ная сумма по­ло­же­на в банк на остав­ши­е­ся 20 − t лет под 25% го­до­вых. Тогда цена акций на конец срока со­ста­вит тыс. руб. Найдём наи­боль­шее зна­че­ние по­лу­чен­ной функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных t, не пре­вос­хо­дя­щих 20. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке и ме­ня­ет в ней знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, это точка мак­си­му­ма. За­ме­тим, что

Из по­лу­чен­ной оцен­ки сле­ду­ет, что точка мак­си­му­ма лежит на ин­тер­ва­ле (8; 10). Срав­ним зна­че­ния функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10. По­сколь­ку

наи­боль­шее зна­че­ни­ем функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных ар­гу­мен­тов до­сти­га­ет­ся в точке 9. Про­да­вать акции не­об­хо­ди­мо в конце де­вя­то­го года.

Ответ: в конце де­вя­то­го года.

При­ме­ча­ние.

Без срав­не­ния зна­че­ний функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10 не обой­тись. На­при­мер, если точка мак­си­му­ма до­ста­точ­но близ­ка к точке 8, зна­че­ние в точке 8 может ока­зать­ся боль­ше, чем зна­че­ние в точке 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­кла­ды­вать день­ги в банк имеет смысл, когда доход в 25% го­до­вых, то есть еже­год­ное уве­ли­че­ние суммы в 1,25 раза, будет пре­вос­хо­дить еже­год­ный квад­ра­тич­ный рост цен. Про­сле­дим за до­ход­но­стью:

Ко­эф­фи­ци­ент до­ход­но­сти k за 9-й год боль­ше 1,25, а за 10-й год мень­ше 1,25. По­ка­жем, что в сле­ду­ю­щие годы он будет далее умень­шать­ся. Дей­стви­тель­но, в силу тож­деств

по­лу­ча­ем, что ко­эф­фи­ци­ент k мо­но­тон­но убы­ва­ет с уве­ли­че­ни­ем t.

Те­перь можно сде­лать вывод о том, что в конце де­вя­то­го года це­ле­со­об­раз­но пе­ре­ло­жить день­ги в банк.

Ре­ше­ние. Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце кода k, то в конце два­дцать пя­то­го года на его счёте будет тыс. руб.

Най­дем про­из­вод­ную по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния:

За­ме­тим, что най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю в един­ствен­ной точке по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на Из усло­вия из­вест­но, что про­да­вать бу­ма­ги не­об­хо­ди­мо в конце 21 года, сле­до­ва­тель­но, доход, по­лу­чен­ный при про­да­же бумаг в конце 21 года, боль­ше, чем доход, ко­то­рый мог бы по­лу­чить фонд при про­да­же бумаг в конце 20-⁠го года и в конце 22 года. Из вы­яс­нен­но­го выше ха­рак­те­ра мо­но­тон­но­сти функ­ции можно за­клю­чить, что вы­пол­не­ние не­ра­венств и га­ран­ти­ру­ет, что для всех зна­че­ний k, от­лич­ных от 21. А зна­чит, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но найти ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств: и

При­ме­ча­ние. В ре­ше­нии нель­зя огра­ни­чить­ся толь­ко ре­ше­ни­ем не­ра­венств (*). Из того, что доход при про­да­же бумаг в конце 21 года боль­ше, чем доход при их про­да­же в конце 20 и 22 годов не сле­ду­ет, что этот доход боль­ше, чем при про­да­же в любой дру­гой год, а имен­но это ого­во­ре­но в усло­вии. Од­на­ко можно обой­тись без про­из­вод­ной.

На­при­мер, рас­смот­рим раз­ность пред­по­ла­га­е­мых до­хо­дов от про­да­жи цен­ных бумаг в конце года и года k:

Пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, вто­рой может ме­нять знак. По­ло­жи­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, мень­ше до­хо­да при их про­да­же в сле­ду­ю­щем году. От­ри­ца­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, боль­ше до­хо­да, ко­то­рый можно по­лу­чить при про­да­же бумаг в сле­ду­ю­щем году.

Пусть По­сколь­ку квад­рат­ный трёхчлен имеет един­ствен­ный ко­рень на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси, и по­то­му если для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k вы­пол­не­но не­ра­вен­ство то для лю­бо­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Из этого сле­ду­ет, что если доход при про­да­же акций в какой-то год ока­зал­ся менее вы­год­ным, чем доход при их про­да­же в преды­ду­щий год, то и во все по­сле­ду­ю­щие годы про­да­вать акции будет менее вы­год­но.

По­сколь­ку цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года, долж­ны быть од­но­вре­мен­но вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и то есть и Зна­чит, и от­ку­да

При­ведём дру­гое рас­суж­де­ние. Опре­де­лим, во сколь­ко раз уве­ли­чи­ва­ет­ся сто­и­мость цен­ных бумаг по срав­не­нию с их сто­и­мо­стью в преды­ду­щий год, если фонд не про­да­ет цен­ные бу­ма­ги, а хра­нит их:

По­лу­чен­ное от­но­ше­ние мо­но­тон­но убы­ва­ет с ро­стом k, по­это­му если фонд хра­нит цен­ные бу­ма­ги, не про­да­вая их, с те­че­ни­ем лет при­рост до­хо­да па­да­ет, при­бли­жа­ясь к еди­ни­це. В силу по­ка­зан­но­го убы­ва­ния, если мо­мент про­да­жи на­сту­пил в конце 21 года, то он не мог на­сту­пить ни рань­ше, ни позже. По­это­му ре­ше­ния двой­но­го не­ра­вен­ства

дадут ис­ко­мые зна­че­ния r. Пер­вое из этих не­ра­венств озна­ча­ет, что доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в те­че­ние 22-⁠го года при­не­сет мень­ше при­бы­ли, чем в слу­чае их про­да­жи в конце 21-⁠го года,  — ждать не имеет смыс­ла, по­сколь­ку до­ход­ность стала мень­ше бан­ков­ской и будет мень­ше во все сле­ду­ю­щие годы. Вто­рое не­ра­вен­ство озна­ча­ет, что рань­ше про­да­вать тоже не имело смыс­ла  — доход от хра­не­ния цен­ных бумаг в 21-⁠м году пре­вы­ша­ет доход, ко­то­рый был бы по­лу­чен от банка, и так было все преды­ду­щие годы.

Оста­лось за­ме­тить, что

Ре­ше­ние. Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце года k, то в конце два­дца­то­го года на его счёте будет тыс. руб. Чтобы найти наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти рас­смот­рим раз­ность по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов:

Урав­не­ние имеет ко­рень Таким об­ра­зом, при и при то есть

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ет­ся a₅, то есть цен­ные бу­ма­ги надо про­да­вать в конце пя­то­го года.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку при­быль фирмы со­став­ля­ет

Эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей от Q, а её мак­си­мум до­сти­га­ет­ся при Зна­чит, общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет равна руб­лей. Эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей от t, а её мак­си­мум до­сти­га­ет­ся при

Ответ: 7000.

Ре­ше­ние. При­быль фирмы вы­ра­жа­ет­ся как то есть квад­ра­тич­но за­ви­сит от цены Р. Пусть пер­во­на­чаль­ная цена рав­ня­лась Р₀. После сни­же­ния цена стала рав­нять­ся 0,8Р₀. Наи­боль­шая при­быль до­сти­га­ет­ся при зна­че­нии Р, для ко­то­ро­го до­сти­га­ет мак­си­му­ма. Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз, по­это­му мак­си­мум до­сти­га­ет­ся в вер­ши­не па­ра­бо­лы. По­сколь­ку вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке Зна­чит, нужно уве­ли­чить цену с 0,8Р₀ до 0,9Р₀, то есть на 12,5%.

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. Най­дем при­быль за пер­вый год после окон­ча­ния стро­и­тель­ства. При p  =  10 для при­бы­ли по­лу­ча­ем ве­ли­чи­ну или Наи­боль­шее зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при про­из­вод­стве тыс. ед. про­дук­ции и со­став­ля­ет млн. руб. Про­дол­жая вы­чис­ле­ния для p  =  11, 12 и 13, можно найти при­быль в по­сле­ду­ю­щие годы и убе­дить­ся, что через 4 года общая при­быль со­ста­вит 159 млн. руб.

При­ве­дем ре­ше­ние в чуть более общем виде.

Еже­год­но мак­си­маль­ная при­быль яв­ля­ет­ся наи­боль­шим зна­че­ни­ем квад­ра­тич­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке и равна

Тогда общая при­быль за n пер­вых лет со­ста­вит:

1 год: млн. руб.,

2 год: млн. руб. (общая 60,5 млн руб.),

3 год: млн. руб. (общая 104,5 млн руб.),

4 год: млн. руб. (общая 159 млн руб.).

Таким об­ра­зом, стро­и­тель­ство оку­пит­ся за 4 года.

Ответ: за 4 года.

Ре­ше­ние. Для со­вер­ше­ния ми­ни­маль­но­го ко­ли­че­ства по­ез­док за­груз­ка ав­то­мо­би­ля долж­на быть мак­си­маль­ной. C учётом гру­зо­подъёмно­сти и га­ба­рит­ных раз­ме­ров воз­мож­ны три спо­со­ба мак­си­маль­ной за­груз­ки ав­то­мо­би­ля:

а)  2 боль­ших блока и 2 ма­лень­ких блока (масса 7,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков);

б)  1 боль­шой блок и 20 ма­лень­ких бло­ков (масса 8,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков);

в)  38 ма­лень­ких бло­ков (масса 9,5 т, но огра­ни­че­ние по ко­ли­че­ству бло­ков).

Пусть пер­вым спо­со­бом будет со­вер­ше­но x пе­ре­во­зок, вто­рым  — y пе­ре­во­зок, тре­тьим  — z пе­ре­во­зок. Тре­бу­ет­ся найти ми­ни­маль­ное зна­че­ние суммы при вы­пол­не­нии усло­вий

До­мно­жим пер­вое не­ра­вен­ство на 18 и сло­жим со вто­рым не­ра­вен­ством. По­лу­ча­ем:

Зна­чит, ми­ни­маль­ное число пе­ре­во­зок боль­ше 25.

При­ведём при­мер, при ко­то­ром можно пе­ре­вез­ти все блоки за 26 пе­ре­во­зок: если 25 пе­ре­во­зок будут осу­ществ­ле­ны вто­рым спо­со­бом, то будут пе­ре­ве­зе­ны все 500 ма­лень­ких бло­ков и 25 боль­ших бло­ков, и на 26-⁠ю пе­ре­воз­ку оста­нет­ся толь­ко один боль­шой блок.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом ко­ор­ди­нат в точке, где на­хо­дит­ся ме­тео­стан­ция, ось абс­цисс на­пра­вим на во­сток, ось ор­ди­нат  — на север. Тогда в мо­мент пер­во­го из­ме­ре­ния эпи­центр цик­ло­на на­хо­дил­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми а во время вто­ро­го из­ме­ре­ния  — в точке с ко­ор­ди­на­та­ми По усло­вию, эпи­центр дви­га­ет­ся пря­мо­ли­ней­но. Пусть эта пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем Найдём ко­эф­фи­ци­ен­ты k и b в урав­не­нии этой пря­мой:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние пря­мой или Тогда наи­мень­шее рас­сто­я­ние, на ко­то­рое эпи­центр цик­ло­на при­бли­зит­ся к ме­тео­стан­ции, будет равно рас­сто­я­нию от точки до пря­мой

Ответ: км.

Ре­ше­ние. Пусть завод за­ку­пит x стан­ков пер­во­го типа и y стан­ков вто­ро­го типа. Тогда, спра­вед­ли­ва си­сте­ма не­ра­венств:

Тре­бу­ет­ся найти, при каких зна­че­ни­ях x и yдо­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

За­ме­тим, что x и y  — не­от­ри­ца­тель­ные целые числа. При этом наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние x равно 7: в про­тив­ном слу­чае вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы не вы­пол­ня­ет­ся. При каж­дом зна­че­нии x зна­че­ние вы­ра­же­ния тем боль­ше, чем боль­ше зна­че­ние y. Решим за­да­чу пе­ре­бо­ром. Для каж­до­го зна­че­ния x найдём наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y, при ко­то­ром верна си­сте­ма (*), а также зна­че­ние вы­ра­же­ния

Зна­че­ние x	Наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y	Зна­че­ние
0	11	33
1	10	35
2	8	34
3	7	36
4	5	35
5	3	34
6	2	36
7	0	35

Таким об­ра­зом, чтобы про­из­во­дить за смену наи­боль­шее ко­ли­че­ство про­дук­ции, за­во­ду не­об­хо­ди­мо за­ку­пить 3 стан­ка пер­во­го типа и 7 стан­ков вто­ро­го типа или 6 стан­ков пер­во­го типа и 2 стан­ка вто­ро­го типа. За­ме­тим также, что вто­рая ком­би­на­ция обойдётся за­во­ду де­шев­ле на 3 млн руб.

Ответ: 3 стан­ка пер­во­го типа и 7 стан­ков вто­ро­го типа или 6 стан­ков пер­во­го типа и 2 стан­ка вто­ро­го типа.

При­ме­ча­ние.

Пе­ре­бор можно за­ме­нить гра­фи­че­ским ис­сле­до­ва­ни­ем. Изоб­ра­зим ре­ше­ние си­сте­мы (*) и се­мей­ство пря­мых (см. рис., це­ло­чис­лен­ные ре­ше­ния си­сте­мы изоб­ра­же­ны цвет­ны­ми точ­ка­ми).

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию a со­от­вет­ству­ет такое по­ло­же­ние пря­мой, при ко­то­ром пря­мая про­хо­дит хотя бы через одно це­ло­чис­лен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, и нет це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ний, ле­жа­щих выше пря­мой (изоб­ра­же­но крас­ным цве­том). Из ри­сун­ка видно, что ис­ко­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ных со­от­вет­ству­ют либо 3 стан­кам пер­во­го типа и 7 стан­кам вто­ро­го типа, либо 6 стан­кам пер­во­го типа и 2 стан­кам вто­ро­го типа.

Ре­ше­ние. Пусть в кон­тей­не­ре на­хо­дят­ся x из­де­лий пер­во­го типа, y из­де­лий вто­ро­го типа и z из­де­лий тре­тье­го типа, тогда верно ра­вен­ство

Пра­вая часть по­лу­чен­но­го урав­не­ния де­лит­ся на 2, зна­чит, и левая часть долж­на де­лить­ся на 2. По­это­му z  — чётное число. Кроме того, за­ме­тим, что зна­чит, из­де­лия тре­тье­го типа имеют самую боль­шую удель­ную цену (цена на 1 кг из­де­лия), а из­де­лия вто­ро­го типа  — самую ма­лень­кую.

Наи­боль­шая сум­мар­ная сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре из­де­лий будет со­от­вет­ство­вать ре­ше­нию урав­не­ния (*) в на­ту­раль­ных чис­лах при наи­боль­шем ко­ли­че­стве самых до­ро­гих из­де­лий z. Если то а зна­чит, урав­не­ние (*) не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. Будем про­ве­рять чётные числа, мень­шие 22, в по­ряд­ке убы­ва­ния. Если то   — это урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. Если то по­лу­чен­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шая сум­мар­ная сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре из­де­лий равна

Наи­мень­шая сум­мар­ная сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре из­де­лий будет со­от­вет­ство­вать ре­ше­нию урав­не­ния (*) в на­ту­раль­ных чис­лах при наи­боль­шем ко­ли­че­стве самых дешёвых из­де­лий y. Если то а зна­чит, урав­не­ние (*) не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. Про­ве­рим зна­че­ния y, мень­шие 20. Если то   — нет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. Если то   — нет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. Если то   — есть един­ствен­ное ре­ше­ние Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая сум­мар­ная сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре из­де­лий равна

Ответ: 10,5 млн руб. и 12,6 млн руб.

Ре­ше­ние. Пусть будет за­кры­то x шахт, по­стро­е­но y за­во­дов и z фаб­рик, где x  — на­ту­раль­ное число, а y и z  — целые не­от­ри­ца­тель­ные числа. Тогда зна­чит, y  — чётное, но не крат­ное 4. Пусть где тогда

За­ме­тим, что и что   — крат­но 5. Пусть где имеем:

Для уве­ли­че­ния сум­мар­но­го числа S новых ра­бо­чих мест по­лу­ча­ем:

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при и

Ответ: 2530.

Ре­ше­ние. Пусть x  — доля всех мощ­но­стей фаб­ри­ки за месяц, ко­то­рые вы­пус­ка­ют блин­чи­ки с яго­да­ми, y  — доля всех мощ­но­стей фаб­ри­ки за месяц, ко­то­рые вы­пус­ка­ют блин­чи­ки с тво­ро­гом, z  — доля всех мощ­но­стей фаб­ри­ки, ко­то­рые вы­пус­ка­ют блин­чи­ки с мясом. Зна­чит, При этом для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти долж­ны быть вы­пол­не­ны усло­вия:

При­быль в тыс. руб., ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц равна

При­быль воз­рас­та­ет с умень­ше­ни­ем z и с уве­ли­че­ни­ем x. За­ме­тим, что

Зна­чит,

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся при

Ответ: 2010 тыс. руб.

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить это за­да­ние с за­да­ни­ем 509426 од­но­го из проб­ных эк­за­ме­нов.

Ре­ше­ние. По усло­вию форма крыши яв­ля­ет­ся квад­ра­том, зна­чит, длина и ши­ри­на зда­ния равны. Пусть длина и ши­ри­на зда­ния равны x м (), тогда вы­со­та зда­ния равна  м. Сто­и­мость от­дел­ки зда­ния в ты­ся­чах руб­лей равна

С по­мо­щью про­из­вод­ной найдём зна­че­ние x, при ко­то­ром при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние:

Точка ми­ни­му­ма яв­ля­ет­ся един­ствен­ной точ­кой экс­тре­му­ма не­пре­рыв­ной на луче (0; +∞) функ­ции по­это­му в дан­ной точке эта функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние. Зна­чит, длина и ши­ри­на зда­ния равны 6 м, а вы­со­та зда­ния равна  м.

Ответ: 6 м, 6 м, 12 м.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим на­чаль­ную цену па­ке­та акций  руб­лей, еже­ме­сяч­ный по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент сто­и­мо­сти па­ке­та акций и пусть еже­ме­сяч­но от­кла­ды­ва­е­мая сумма со­став­ля­ет a руб­лей. Тогда в конце -⁠го ме­ся­ца пакет акций будет сто­ить не боль­ше  руб­лей. К се­ре­ди­не n-⁠го ме­ся­ца Сер­гей на­ко­пит сумму an руб­лей. Чтобы иметь воз­мож­ность ку­пить этот пакет акций во вто­рой по­ло­ви­не n-⁠го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие

Ми­ни­маль­ное зна­че­ние будет со­от­вет­ство­вать ра­вен­ству

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и най­дем наи­мень­ший член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Для этого ис­сле­ду­ем, как ме­ня­ет­ся част­ное двух со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти в за­ви­си­мо­сти от n:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние мо­но­тон­но воз­рас­та­ет с ро­стом n, оно мень­ше 1 при равно 1 при и боль­ше 1 при Это озна­ча­ет, что наи­мень­шим чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ет­ся а по­то­му ис­ко­мая наи­мень­шая сумма равна

Ответ: 78 125 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Чтобы найти наи­мень­шее зна­че­ние суммы, можно было рас­смот­реть не част­ное, а раз­ность по­сле­до­ва­тель­ных сумм:

Знак раз­но­сти сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния ко­то­рое при под­ста­нов­ке при­ни­ма­ет вид Это вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при равно нулю при и от­ри­ца­тель­но при Это озна­ча­ет, что

Зна­чит, наи­мень­шая сумма, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо еже­ме­сяч­но от­кла­ды­вать, равна

Ре­ше­ние. Пусть при про­да­же цен­ных бумаг Алек­сей по­лу­чит за них S тыс. руб­лей. Чтобы ему вы­год­но было про­да­вать цен­ные бу­ма­ги, еже­год­ные на­чис­ле­ния по вкла­ду долж­ны пре­вы­шать 2 тыс. руб­лей, т. е. долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

В конце n-го года после по­куп­ки цен­ных бумаг их сто­и­мость будет равна 9 + 2n тыс. руб­лей. Так как не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при n  =  7 и не вы­пол­ня­ет­ся при мень­ших зна­че­ни­ях n, Алек­сей дол­жен про­дать цен­ные бу­ма­ги в на­ча­ле вось­мо­го года после их по­куп­ки.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пусть S  — раз­мер кре­ди­та, он равен 1806 ты­ся­чам руб­лей. Срок по­га­ше­ния кре­ди­та n со­став­ля­ет 2 года, или 24 ме­ся­ца. Про­цент­ная став­ка r со­став­ля­ет в пер­вом ва­ри­ан­те 15% го­до­вых, а во вто­ром 2% еже­ме­сяч­но.

В пер­вом ва­ри­ан­те долг х вы­пла­чен двумя пла­те­жа­ми, по­это­му от­ку­да

Сумма вы­плат со­став­ля­ет тыс. руб.

Во вто­ром ва­ри­ан­те суммы долга со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию:

а вы­пла­ты равны

По­это­му для суммы вы­плат по­лу­ча­ем:

или тыс. руб.

Сле­до­ва­тель­но, более вы­го­ден кре­дит, опи­сан­ный в ва­ри­ан­те 1; раз­ность сумм вы­плат со­ста­вит

Ответ: 35 700 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть S₀  — сумма денег у Мак­си­ма в какой-то мо­мент вре­ме­ни, тогда при вло­же­нии денег на бан­ков­ский де­по­зит S₀ будет уве­ли­чи­вать­ся: Не­об­хо­ди­мо по­нять, в какой мо­мент вре­ме­ни стоит про­дать цен­ную бу­ма­гу и по­ло­жить день­ги на бан­ков­ский счет, для этого решим не­ра­вен­ство:

Най­дем сумму денег через 4 года:

Ответ: 126 694,4 руб­лей.

Ре­ше­ние. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ко­ли­че­ство ра­бо­чих	За­ра­бот­ная плата (руб./⁠сут) на 1 ра­бо­че­го
Пер­вый объ­ект	p
Вто­рой объ­ект	30 − p
Всего:	30

Пусть Квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет ми­ни­му­ма в точке По усло­вию p  — это на­ту­раль­ное число. Най­дем и срав­ним зна­че­ния функ­ции при p  =  6 и p  =  7:

Наи­мень­шая су­точ­ная зар­пла­та всем ра­бо­чим, до­сти­га­ет­ся при p  =  7. Сле­до­ва­тель­но, на пер­вый объ­ект сле­ду­ет от­пра­вить 7 ра­бо­чих, а на вто­рой  — 23 ра­бо­чих.

Ответ: 1-⁠й объ­ект  — 7 че­ло­век, 2-⁠й объ­ект  — 23 че­ло­ве­ка; 43 150 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть пер­во­на­чаль­ный вклад со­ста­вил тогда через год (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) ве­ли­чи­на вкла­да со­ста­вит После сня­тия со счёта пятой части пер­во­на­чаль­ной суммы ве­ли­чи­на вкла­да со­ста­вит Ещё через год (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) ве­ли­чи­на вкла­да со­ста­вит

Наи­боль­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся в той же точке, что и наи­боль­шее зна­че­ние квад­ра­тич­ной функ­ции на ин­тер­ва­ле Гра­фи­ком этой функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз, вер­ши­на па­ра­бо­лы равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му абс­цисс точек пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы с осью абс­цисс: Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние на ин­тер­ва­ле до­сти­га­ет­ся в точке

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние при­бы­ли, то есть наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Най­дем это зна­че­ние:

Те­перь по­счи­та­ем при­бы­ли за­во­да.

Год после по­строй­ки за­во­да	Зна­че­ние p	Сумма при­бы­ли	Сумма при­бы­ли с 1-⁠го года функ­ци­о­ни­ро­ва­ния за­во­да (в млн руб.)
1	7		19
2	9		19 + 44  =  63
3	11		63 + 79  =  142 > 140

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим ис­ход­ную сумму 1 млн руб­лей бук­вой K. В на­ча­ле 1978-⁠го, 1979-⁠го, 1980-⁠го, 1981-⁠го годов в сейфе Али­ше­ра в ре­зуль­та­те 4 изъ­я­тий сумм по m% оста­ва­лось руб.

В на­ча­ле 1982-го года Али­шер вновь вынул m% остат­ка денег, эта сумма долж­на иметь воз­мож­ное наи­боль­шее зна­че­ние. Она равна  руб. До­ста­точ­но найти зна­че­ние m, при ко­то­ром функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния.

По смыс­лу за­да­чи Функ­ция опре­де­ле­на при всех зна­че­ни­ях m, таких, что Ис­сле­ду­ем эту функ­цию на наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке [0; 100]. Най­дем кри­ти­че­ские точки, не сов­па­да­ю­щие с кон­ца­ми от­рез­ка. По­лу­чим:

Решим урав­не­ние най­дем Число 20 делит про­ме­жу­ток (0; 100) на про­ме­жут­ки зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной: ин­тер­ва­лы (0; 20) и (20; 100). Най­дем эти знаки, взяв проб­ные точки:

Таким об­ра­зом, про­из­вод­ная функ­ции при пе­ре­хо­де в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии через точку 20 ме­ня­ет знак с плюса на минус, сле­до­ва­тель­но, в этой точке, со­глас­но до­ста­точ­но­му при­зна­ку мак­си­му­ма функ­ции, до­сти­га­ет­ся мак­си­мум функ­ции. Этот мак­си­мум на ин­тер­ва­ле (0; 100) един­ствен­ный. По­это­му в точке 20 функ­ция f(m) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния на ин­тер­ва­ле (0; 100).

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. За­ме­ним мыс­лен­но каж­дую де­таль типа В двумя де­та­ля­ми типа A, время ра­бо­ты от этого не из­ме­нит­ся. По­лу­чим, что пер­вая бри­га­да ра­бо­чих долж­на из­го­то­вить 1005 де­та­лей типа типа A, а вто­рая бри­га­да долж­на из­го­то­вить 4020 де­та­лей типа A, то есть в 4 раза боль­ше. Зна­чит, ко­ли­че­ство ра­бо­чих в бри­га­дах не­об­хо­ди­мо раз­де­лить в со­от­но­ше­нии 1 : 4. По­это­му в пер­вой бри­га­де долж­но быть 193 : 5 = 38,6 чел., а во вто­рой  — в 4 раза боль­ше, то есть 154,4 чел.

Дроб­ное число ра­бо­чих из­го­тав­ли­вать де­та­ли не может, по­это­му най­ден­ные зна­че­ния не­об­хо­ди­мо округ­лить. Если в пер­вой бри­га­де будет 38 ра­бо­чих, а во вто­рой  — 154 ра­бо­чих (в 4,05 раза боль­ше), то пер­вая бри­га­да за­кон­чит ра­бо­ту позже вто­рой. Если же в пер­вой бри­га­де будет 39 ра­бо­чих, а во вто­рой 153 ра­бо­чих (в 3,92 раза боль­ше), то вто­рая бри­га­да за­кон­чит позже пер­вой. Для каж­до­го из этих слу­ча­ев оце­ним время вы­пол­не­ния за­ка­за. Дру­гие ва­ри­ан­ты раз­би­е­ния ра­бо­чих по бри­га­дам (37 на 155 чел., 40 на 152 чел. и т. д.) не могут дать мень­ше­го вре­ме­ни, по срав­не­нию с пер­вы­ми двумя, по­сколь­ку чем даль­ше от­но­ше­ние числа ра­бо­чих в бри­га­дах от со­от­но­ше­ния 1 : 4, тем доль­ше будет ра­бо­тать более мед­лен­ная из бри­гад, в то время как уже за­кон­чив­шая свою часть за­ка­за бри­га­да будет про­ста­и­вать.

Пусть одна де­таль де­ла­ет­ся ра­бо­чим за 1 еди­ни­цу вре­ме­ни; не огра­ни­чи­вая общ­но­сти, по­ло­жим эту еди­ни­цу рав­ной 1 ми­ну­те. Тогда бри­га­да из 38 че­ло­век на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей за­тра­тит а бри­га­да из 154 че­ло­век за­тра­тит на из­го­тов­ле­ние 2010 де­та­лей В этом слу­чае заказ будет за­кон­чен боль­ше чем за 26,4 мин. Если же в пер­вой бри­га­де 39 чел., то на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей они за­тра­тят в то время как вто­рая бри­га­да из 153 че­ло­век за­тра­тит на из­го­тов­ле­ние 2010 де­та­лей В этом слу­чае заказ будет за­кон­чен мень­ше чем за 26,3 мин. Зна­чит, в пер­вой бри­га­де долж­но быть 39 ра­бо­чих, а во вто­рой бри­га­де  — 153 ра­бо­чих.

Ответ: 39 и 153.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча из ва­ри­ан­та Алек­сандра Ла­ри­на впер­вые пред­ла­га­лась аби­ту­ри­ен­там эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ в 1992 году под но­ме­ром 3 из шести задач в ва­ри­ан­те. Ав­тор­ское ре­ше­ние ана­ло­гич­ной за­да­чи мы при­ве­ли в за­да­че 632165.

Ре­ше­ние. Будем счи­тать, что для сме­ши­ва­ния ис­поль­зо­ва­ли a кг рас­тво­ра X, b кг рас­тво­ра Y и c кг рас­тво­ра Z. Тогда для ве­ще­ства A имеем:

Пусть тогда где, с уче­том не­от­ри­ца­тель­но­сти масс,

Для ве­ще­ства B по­лу­ча­ем:

Под­ста­вив и по­лу­чим функ­цию

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая, зна­чит, при­ни­ма­ет своё наи­мень­шее зна­че­ние при наи­боль­шем зна­че­нии ар­гу­мен­та.

Зна­чит, наи­мень­шее воз­мож­ное со­дер­жа­ние ве­ще­ства B в по­лу­чен­ном рас­тво­ре равно 26%. Это до­сти­га­ет­ся если сме­шать 2 пор­ции рас­тво­ра X и 3 пор­ции рас­тво­ра Z, а рас­твор Y не ис­поль­зо­вать.

Ответ: 26%.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Пусть a  — доля рас­тво­ра X, b  — доля рас­тво­ра Y, c  — доля рас­тво­ра Z в смеси, тогда a + b + c  =  1, то есть c  =  1 – a – b. Для кон­цен­тра­ции ве­ще­ства A в смеси имеем

Для кон­цен­тра­ции ω ве­ще­ства B в смеси по­лу­ча­ем

Оче­вид­но, что ми­ни­мум этой функ­ции до­сти­га­ет­ся при b  =  0 и равен ω(0)  =  0,26. За­ме­тим, что при этом a  =  0,4, c  =  0,6.

Ответ: 26%.

Ре­ше­ние. Пусть пла­ни­ру­е­мая сумма кре­ди­та равна K у. е. Это зна­чит, что Ша­ро­на Аб­ра­мов­на будет обя­за­на вер­нуть банку эту сумму рав­ны­ми пла­те­жа­ми по  у. е. в каж­дый пла­теж­ный год если она об­ра­тит­ся в пер­вый банк (слу­чай пер­вый), или по  у. е., если Ша­ро­на Аб­ра­мов­на вос­поль­зу­ет­ся услу­га­ми вто­ро­го банка (слу­чай вто­рой).

Кроме того Ша­ро­на Аб­ра­мов­на будет долж­на еже­год­но вы­пла­чи­вать банку ко­мис­сию в раз­ме­ре 3% от остат­ка оче­ред­но­го долга в пер­вом слу­чае и 9% от ана­ло­гич­но­го остат­ка долга во вто­ром слу­чае, ко­то­рые мы услов­но на­зо­вем пе­ре­пла­та­ми банку. В обоих слу­ча­ях пе­ре­пла­ты об­ра­зу­ют ко­неч­ную убы­ва­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, суммы ко­то­рых можно вы­чис­лить, зная пер­вый и по­след­ний их члены.

В кон­тек­сте дан­ной за­да­чи пе­ре­пла­та в со­от­вет­ству­ю­щий пла­теж­ный год со­ста­вит:

По усло­ви­ям банка №	Пла­теж­ный год		Сумма пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии
	пер­вый	вто­рой
1	0,03K	0,03K : 10  =  0,003K
2	0,09K	0,09K : 6  =  0,015K

За­ме­тим, что общая сумма вы­плат Ша­ро­на Аб­ра­мов­ны по воз­вра­ту ос­нов­но­го долга одна и та же в обоих слу­ча­ях, она равна K у. е. Раз­ные лишь пе­ре­пла­ты, их раз­ность со­став­ля­ет

то есть 15%.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. По усло­вию При­быль фирмы равна

Стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го трех­чле­на от­но­си­тель­но Q от­ри­ца­те­лен, по­это­му он до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

Сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, со­став­ля­ет

Наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке

Ответ: 12 500.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим слу­чай вло­же­ния денег толь­ко в пер­вый про­ект, в этом слу­чае при этом По усло­вию если Зна­чит, Тогда

При таком a най­дет­ся зна­че­ние b:

Функ­ция имеет вид

Рас­смот­рим вло­же­ние де­неж­ных средств толь­ко во вто­рой про­ект. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем: при этом По усло­вию если Зна­чит, Тогда

При по­лу­чен­ном зна­че­нии a

Функ­ция имеет вид

Рас­смот­рим вло­же­ние в оба про­ек­та суммы 290 тыс. руб. Пусть в пер­вый про­ект было вло­же­но x тыс. руб, тогда вто­рой про­ект вло­же­но  тыс. руб. Со­ста­вим сумму ранее най­ден­ных функ­ций для этих зна­че­ний ар­гу­мен­тов и най­дем ее наи­боль­шее зна­че­ние. Имеем:

По­лу­чен­ная функ­ция квад­ра­тич­ная с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма. Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние

Итак, в пер­вый про­ект сле­ду­ет вло­жить 110 тыс. руб., во вто­рой  — 180 тыс. руб. При этом мак­си­маль­ная общая при­быль со­ста­вит

Ответ: 110 тыс. руб. в пер­вый про­ект, 180 тыс. руб. во вто­рой про­ект; мак­си­маль­ная общая при­быль 342 тыс. руб.

Ре­ше­ние. Пусть паром спо­со­бен пе­ре­во­зить x джи­пов и y гру­зо­ви­ков од­но­вре­мен­но. Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы зная, что числа x и y на­ту­раль­ные, при­чем

Вы­чтем почлен­но из пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы вто­рое, по­лу­чим след­ствие си­сте­мы:

Таким об­ра­зом, x  — на­ту­раль­ное число, не пре­вос­хо­дя­щее 12.

Если то долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство или Наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние y равно 15. Но тогда гру­зо­подъ­ем­ность па­ро­ма равна

а это на 2 пре­вос­хо­дит за­дан­ную гру­зо­подъ­ем­ность.

Если то то есть При по­лу­ча­ем:

При по­лу­ча­ем:

Боль­шие зна­че­ния y не по­дой­дут, по­это­му для наи­боль­шее зна­че­ние сум­мар­ной сто­и­мо­сти есть

Оста­лось про­ве­рить слу­чай Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щую оцен­ку:

что мень­ше Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки равна 17 100 руб.

Ответ: 17 100 руб.

Ре­ше­ние. 1.  Если объём за­ка­за не пре­вы­ша­ет 4000 еди­ниц то­ва­ра, то вы­руч­ка фирмы не пре­вы­ша­ет руб.

2.  Если объём за­ка­за где x  — ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра в за­ка­зе, то вы­руч­ка S (в руб.) равна

Найдём, при каком зна­че­нии x вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Если рас­крыть скоб­ки, то ока­жет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том. Она при­ни­ма­ет своё наи­боль­шее зна­че­ние в точке

Най­ден­ное число удо­вле­тво­ря­ет тре­бу­е­мо­му объёму за­ка­за. Найдём

Най­ден­ная сумма пре­вы­ша­ет мак­си­маль­ную вы­руч­ку при зна­чит, наи­боль­шую вы­руч­ку фирма по­лу­чит при объёме за­ка­за в 9500 еди­ниц то­ва­ра.

Ответ: 9500.

Ре­ше­ние. Стро­и­тель­ство цеха оку­пит­ся, когда сум­мар­ная при­быль за пер­вые не­сколь­ко лет ока­жет­ся не мень­ше 300  млн  руб. При­быль фирмы (в млн руб.) за пер­вый год со­ста­вит

Из по­лу­чен­ной оцен­ки сле­ду­ет, что мак­си­маль­ная при­быль в пер­вый год равна 102,5  млн  руб. Она до­сти­га­ет­ся при вы­пус­ке 45 тыс. еди­ниц про­дук­ции. Мак­си­маль­ная при­быль в пер­вый год мень­ше по­тра­чен­ных на стро­и­тель­ство 300 млн руб., по­это­му за пер­вый год стро­и­тель­ство не оку­пит­ся.

При­быль фирмы (в млн руб.) за вто­рой год со­ста­вит

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ная при­быль во вто­рой год равна 150  млн  руб. Она до­сти­га­ет­ся при вы­пус­ке 50 тыс. еди­ниц про­дук­ции. Сум­мар­ная мак­си­маль­ная при­быль в пер­вые два года равна

что мень­ше 300 млн руб., зна­чит, за два года стро­и­тель­ство не оку­пит­ся.

При­быль фирмы (в млн руб­лей) за тре­тий год со­ста­вит

Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ная при­быль равна 202,5  млн  руб. Она до­сти­га­ет­ся при вы­пус­ке 55 тыс. еди­ниц про­дук­ции. Сум­мар­ная мак­си­маль­ная при­быль в пер­вые три года равна

что пре­вы­ша­ет по­тра­чен­ные на стро­и­тель­ство 300  млн  руб. Тем самым стро­и­тель­ство оку­пит­ся за три года.

Ответ: за три года.

Ре­ше­ние. Пусть в про­ект будет вло­же­но   млн руб., тогда на бан­ков­ском счете будет раз­ме­ще­но   млн руб., а сумма, по­лу­чен­ная ин­ве­сто­ром по за­вер­ше­нии про­ек­та, будет равна  млн руб., где

Рас­смот­рим функ­цию

Она квад­ра­тич­ная с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­вию Зна­чит, в про­ект будет вло­же­но   млн  руб., а при­быль от про­ек­та со­ста­вит   млн  руб., что со­став­ля­ет

Ответ: 140.

Ре­ше­ние. Пусть раз­мер еже­год­ной вы­пла­ты со­став­ля­ет x у. е., а срок кре­ди­то­ва­ния со­став­ля­ет n лет, тогда можно со­ста­вить урав­не­ние:

Сумма всех вы­плат равна

а по­ло­ви­на этой суммы долж­на быть боль­ше суммы кре­ди­та, то есть долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность с общим чле­ном Пусть

За­ме­тим, что

Пер­вый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти тогда наи­мень­шее ре­ше­ние не­ра­вен­ства сле­ду­ет ис­кать при На­хо­дим, что:

Зна­чит, наи­мень­шим целым ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся число

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пусть еже­ме­сяч­ный объём про­из­вод­ства со­ста­вит 1000y санок. Тогда рас­хо­ды на их про­из­вод­ство со­ста­вят

а вы­руч­ка от ре­а­ли­за­ции санок со­ста­вит

Еже­ме­сяч­ный убы­ток при этом со­ста­вит

Найдём, при каком по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии y вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.

При при рас­кры­тии мо­ду­ля по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при и равно 16.

При при рас­кры­тии мо­ду­ля по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при и равно 16.

Зна­че­ния вы­ра­же­ния при и оди­на­ко­вы, зна­чит, наи­мень­шие еже­ме­сяч­ные убыт­ки могут быть по­лу­че­ны в двух слу­ча­ях, а имен­но при еже­ме­сяч­ном объёме про­из­вод­ства 4000 и 8000 санок, и со­ста­вят 48 млн руб.

Ответ: 4 или 8.

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом ком­би­на­те x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 500 – x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Пусть на вто­ром ком­би­на­те y  че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 200 – y че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Всего на двух ком­би­на­тах будет из­го­тов­ле­но 8x + 2y де­та­лей А и 2(500 – x) + 8(200 – y) де­та­лей  B. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия нужна 1  де­таль  A и 3  де­та­ли  В. Чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий, долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

от­ку­да

Ко­ли­че­ство из­де­лий S будет равно ко­ли­че­ству де­та­лей A:

Наи­боль­шее зна­че­ние убы­ва­ю­щей ли­ней­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем воз­мож­ном зна­че­нии y, то есть при y  =  0. При этом x  =  100, а по­то­му на пер­вом ком­би­на­те будет из­го­тов­ле­но 800 де­та­лей А и 400 · 2  =  800 де­та­лей  В, а на вто­ром ком­би­на­те  — толь­ко 1600 де­та­лей  В.

Ответ: 800.