За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. Из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

Семен Куз­не­цов пла­ни­ро­вал вло­жить все свои сбе­ре­же­ния на сбе­ре­га­тель­ный счет в банк «Навро­де» под 500%, рас­счи­ты­вая через год за­брать А руб­лей. Од­на­ко крах банка «Навро­де» из­ме­нил его планы, предот­вра­тив не­об­ду­ман­ный по­сту­пок. В ре­зуль­та­те часть денег г-н Куз­не­цов по­ло­жил в банк «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный», а осталь­ные – в банку из-под ма­ка­рон. Через год «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный» по­вы­сил про­цент вы­плат в два с по­ло­ви­ной раза, и г-н Куз­не­цов решил оста­вить вклад еще на год. В итоге раз­мер суммы, по­лу­чен­ной в «Пер­вом Му­ни­ци­паль­ном», со­ста­вил руб­лей. Опре­де­ли­те, какой про­цент за пер­вый год на­чис­лил банк «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный», если в банку из-под ма­ка­рон Семен «вло­жил» руб­лей.

8 марта Леня Го­луб­ков взял в банке 53 680 руб­лей в кре­дит на 4 года под 20% го­до­вых, чтобы ку­пить своей жене Рите новую шубу. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: утром 8 марта сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), а ве­че­ром того же дня Леня пе­ре­во­дит в банк опре­де­лен­ную сумму еже­год­но­го пла­те­жа (все че­ты­ре года эта сумма оди­на­ко­ва). Какую сумму сверх взя­тых 53 680 руб­лей дол­жен будет вы­пла­тить банку Леня Го­луб­ков за эти че­ты­ре года?

В 8-лит­ро­вой колбе на­хо­дит­ся смесь азота и кис­ло­ро­да, со­дер­жа­щая 32% кис­ло­ро­да (по объёму). Из колбы вы­пу­сти­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство смеси и до­ба­ви­ли столь­ко же азота, затем снова вы­пу­сти­ли такое же, как и в пер­вый раз, ко­ли­че­ство новой смеси и до­ба­ви­ли столь­ко же азота. В итоге про­цент­ное со­дер­жа­ние кис­ло­ро­да в смеси со­ста­ви­ло 12,5% (по объёму). Сколь­ко лит­ров смеси вы­пус­ка­ли каж­дый раз?

Мо­ло­дой семье на по­куп­ку квар­ти­ры банк вы­да­ет кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: ровно через год после вы­да­чи кре­ди­та банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем эта семья в те­че­ние сле­ду­ю­ще­го года пе­ре­во­дит в банк опре­де­лен­ную (фик­си­ро­ван­ную) сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Семья Ива­но­вых пла­ни­ру­ет по­га­шать кре­дит рав­ны­ми пла­те­жа­ми в те­че­ние 4 лет. Какую сумму может предо­ста­вить им банк, если еже­год­но Ива­но­вы имеют воз­мож­ность вы­пла­чи­вать по кре­ди­ту 810 000 руб­лей?

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­делённый про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счёт по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а ещё через год в счёт пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внёс в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Из пунк­та А в пункт В вышел пе­ше­ход. Вслед за ним через 2 часа из пунк­та А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а еще через 30 минут  — мо­то­цик­лист. Пе­ше­ход, ве­ло­си­пе­дист и мо­то­цик­лист дви­га­лись рав­но­мер­но и без оста­но­вок. Через не­ко­то­рое время после вы­ез­да мо­то­цик­ли­ста ока­за­лось, что к этому мо­мен­ту все трое на­хо­дят­ся на одном рас­сто­я­нии от пунк­та В. На сколь­ко минут рань­ше пе­ше­хо­да в пункт В при­был ве­ло­си­пе­дист, если пе­ше­ход при­был в пункт В на 1 час позже мо­то­цик­ли­ста?

Курс дол­ла­ра в те­че­ние двух ме­ся­цев уве­ли­чил­ся на одно и то же число про­цен­тов еже­ме­сяч­но, но не более, чем в 1,5 раза. За сумму, вы­ру­чен­ную от про­да­жи в на­ча­ле пер­во­го ме­ся­ца од­но­го дол­ла­ра, к концу вто­ро­го ме­ся­ца можно было ку­пить на 9 цен­тов мень­ше, чем в конце пер­во­го ме­ся­ца. На сколь­ко про­цен­тов умень­шил­ся курс рубля за два ме­ся­ца?

По про­гно­зу экс­пер­тов, цены на квар­ти­ры в Москве через год упа­дут: в руб­лях на 20%, в евро на 40%. А в Сочи цены в руб­лях упа­дут на 10%. На сколь­ко про­цен­тов упа­дут цены в Сочи в евро?

В двух бан­ках в конце года на каж­дый счет на­чис­ля­ет­ся при­быль: в пер­вом банке  — 60% к те­ку­щей сумме на счете, во вто­ром  — 40% к те­ку­щей сумме на счете. Вклад­чик в на­ча­ле года часть име­ю­щих­ся у него денег по­ло­жил в пер­вый банк, а осталь­ные день­ги – во вто­рой банк, с таким рас­че­том, чтобы через два года сум­мар­ное ко­ли­че­ство денег на обоих сче­тах уве­ли­чи­лось на 150%. Сколь­ко про­цен­тов денег вклад­чик по­ло­жил в пер­вый банк?

Три свечи имеют оди­на­ко­вую длину, но раз­ную тол­щи­ну. Тре­тья свеча была за­жже­на на час рань­ше двух дру­гих, за­жжен­ных од­но­вре­мен­но. В не­ко­то­рый мо­мент го­ре­ния пер­вая свеча и тре­тья свечи стали оди­на­ко­вой длины, а через 2 часа после этого оди­на­ко­вой длины стали тре­тья и вто­рая свечи. За сколь­ко часов сго­ра­ет тре­тья свеча, если вто­рая сго­ра­ет за 6 ч, а пер­вая  — за 4 ч?

Не­за­дол­го до вы­бо­ров со­цио­ло­ги­че­ский опрос по­ка­зал, что 60% из­би­ра­те­лей уже ре­ши­ли, за кого из двух кан­ди­да­тов они будут го­ло­со­вать. При этом 55% из них ре­ши­ли го­ло­со­вать за кан­ди­да­та А. Какой про­цент из тех, кто еще не опре­де­лил сво­е­го из­бран­ни­ка, дол­жен го­ло­со­вать за кан­ди­да­та А, чтобы за него про­го­ло­со­ва­ла по край­ней мере по­ло­ви­на из­би­ра­те­лей.

В род­ном го­ро­де Ари­стар­ха Лу­ко­ва-Ар­ба­ле­то­ва ко­ли­че­ство людей, поль­зу­ю­щих­ся же­лез­ной до­ро­гой, по­сто­ян­но. Из этих людей свой про­езд опла­чи­ва­ют 10%, а ещё 10% вы­пла­той штра­фов за без­би­лет­ный про­езд до­во­дят по­лу­ча­е­мую РЖД (ру­ко­вод­ством же­лез­ной до­ро­ги) при­быль до 100% от ожи­да­е­мой. По­ску­пив­шись пла­тить кон­тролёрам, взи­мав­шим штра­фы, РЖД огра­ни­чи­ло вход на все стан­ции тур­ни­ке­та­ми, сто­и­мость уста­нов­ки ко­то­рых со­ста­ви­ла 100% от го­до­вой при­бы­ли. Цена про­ез­да вы­рос­ла на 50%, по­сколь­ку РЖД пла­ни­ро­ва­ло оку­пить тур­ни­ке­ты за 2 года, а кон­тролёры были уво­ле­ны. Од­на­ко 10% пас­са­жи­ров воз­му­ти­лись про­яв­лен­ным со сто­ро­ны РЖД не­до­ве­ри­ем и по­вы­ше­ни­ем цен на би­ле­ты и пе­ре­ста­ли поль­зо­вать­ся же­лез­ной до­ро­гой. Осталь­ные 90% пас­са­жи­ров про­дол­жи­ли ез­дить, и в пер­вый месяц все они опла­чи­ва­ли свой про­езд. На вто­рой месяц в кассы РЖД не по­па­ли день­ги ещё 10% от пер­во­на­чаль­но­го числа кли­ен­тов, так как их фи­зи­че­ская под­го­тов­ка ока­за­лась до­ста­точ­ной для бес­пре­пят­ствен­но­го пре­одо­ле­ния тур­ни­ке­тов. А в связи с по­яв­ле­ни­ем дырок в за­бо­рах около стан­ций с каж­дым по­сле­ду­ю­щим ме­ся­цем этот про­цент стал уве­ли­чи­вать­ся на 2 и рос бы до тех пор, пока все быв­шие зайцы не нашли бы спо­соб ез­дить в обход тур­ни­ке­тов. По­это­му каж­дые пол­го­да с мо­мен­та уста­нов­ки тур­ни­ке­тов РЖД тра­тит 15% ожи­да­е­мой ме­сяч­ной при­бы­ли на ре­монт за­бо­ров, из-за чего про­цент зай­цев вновь воз­вра­ща­ет­ся к 10 от пер­во­на­чаль­но­го числа всех поль­зо­ва­те­лей же­лез­ной до­ро­ги, и затем си­ту­а­ция с двух­про­цент­ным при­ро­стом зай­цев по­вто­ря­ет­ся. За какой срок оку­пит­ся и оку­пит­ся ли уста­нов­ка тур­ни­ке­тов, если срок их ра­бо­ты  — 10 лет, а кон­тролёров РЖД так и не наймёт?

На­хо­дясь в го­стях у Кро­ли­ка, Вини-Пух за пер­вый час съел 40% всего за­па­са меда Кро­ли­ка, а Пя­та­чок и Кро­лик вме­сте за это же время съели лишь 300 грам­мов меда. За сле­ду­ю­щий час Вини-Пух съел 80% от остав­ше­го­ся меда, а Пя­та­чок и Кро­лик съели 100 грам­мов меда на двоих. В итоге у Кро­ли­ка оста­лось 800 грам­мов меда. Сколь­ко ки­ло­грам­мов меда было у Кро­ли­ка до ви­зи­та Винни-Пуха?

Две бри­га­ды зем­ле­ко­пов вы­ры­ли по оди­на­ко­во­му кот­ло­ва­ну. Вто­рая бри­га­да ра­бо­та­ла на пол­ча­са боль­ше пер­вой. Если бы в пер­вой бри­га­де было на 5 че­ло­век боль­ше, то она могла бы за­кон­чить ра­бо­ту на 2 часа рань­ше. Опре­де­ли­те число зем­ле­ко­пов в каж­дой бри­га­де, если из­вест­но, что про­из­во­ди­тель­ность у зем­ле­ко­пов оди­на­ко­ва.

В не­ко­то­рой стра­не ре­ши­ли про­ве­сти все­на­род­ные вы­бо­ры пра­ви­тель­ства. Две трети в этой стра­не  — го­род­ские жи­те­ли, а одна треть  — сель­ские. Пре­зи­дент дол­жен пред­ло­жить на утвер­жде­ние про­ект со­ста­ва пра­ви­тель­ства из 100 че­ло­век. Из­вест­но, что за про­ект про­го­ло­су­ет столь­ко про­цен­тов го­род­ских (сель­ских) жи­те­лей, сколь­ко че­ло­век из го­ро­да (села) в пред­ло­жен­ном про­ек­те. Какое наи­мень­шее число го­род­ских жи­те­лей надо вклю­чить в про­ект со­ста­ва пра­ви­тель­ства, чтобы за него про­го­ло­со­ва­ло более по­ло­ви­ны из­би­ра­те­лей?

Не­сколь­ко че­ло­век долж­ны были при­нять уча­стие в экс­кур­сии. Од­на­ко двое не смог­ли в ней участ­во­вать, по­это­му осталь­ным экс­кур­сан­там при­ш­лось упла­тить на 30 руб. боль­ше, чем пла­ни­ро­ва­лось (все участ­ни­ки долж­ны были за­пла­тить по­ров­ну). Сколь­ко дол­жен был за­пла­тить каж­дый экс­кур­сант пер­во­на­чаль­но, если из­вест­но, что сто­и­мость экс­кур­сии боль­ше 700 руб., но не более 750 руб.?

Го­ро­да А и В рас­по­ло­же­ны на бе­ре­гу реки, при­чем город В лежит ниже по те­че­нию. В 6 часов утра из А в В от­пра­вил­ся плот. В тот же мо­мент из В в А от­пра­ви­лась лодка, ко­то­рая встре­ти­лась с пло­том в 11 часов утра. До­плыв до го­ро­да А, лодка сразу же по­вер­ну­ла об­рат­но и при­плы­ла в город В од­но­вре­мен­но с пло­том. Успе­ли ли лодка и плот при­быть в город В к 6 ч ве­че­ра того же дня?

В одном со­су­де на­хо­дит­ся 21 л 75%-ного (по объ­е­му) рас­тво­ра кис­ло­ты, а в дру­гом 9 л 30%-ного рас­тво­ра той же кис­ло­ты. Из каж­до­го со­су­да от­ли­ли рав­ное ко­ли­че­ство жид­ко­сти, и взя­тое из пер­во­го со­су­да вы­ли­ли во вто­рой, а взя­тое из вто­ро­го вы­ли­ли в пер­вый. Сколь­ко лит­ров было взято из каж­до­го со­су­да, если в ре­зуль­та­те в них ока­зал­ся рас­твор одной и той же кон­цен­тра­ции.

На пер­вом скла­де на­хо­дят­ся ко­роб­ки с про­сты­ми ка­ран­да­ша­ми, а на вто­ром  — с цвет­ны­ми. Ко­ли­че­ство ко­ро­бок про­стых ка­ран­да­шей со­став­ля­ет от числа ко­ро­бок цвет­ных ка­ран­да­шей. Когда со скла­дов про­да­ли ко­ро­бок про­стых ка­ран­да­шей и цвет­ных, то на пер­вом скла­де оста­лось менее 3000 ко­ро­бок, а на вто­ром  — не менее 2000 ко­ро­бок. Сколь­ко ко­ро­бок было пер­во­на­чаль­но на каж­дом скла­де.

Два че­ло­ве­ка, у ко­то­рых име­ет­ся один ве­ло­си­пед, долж­ны по­пасть из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 40 км. Пер­вый дви­жет­ся пеш­ком со ско­ро­стью 4 км/ч, а на ве­ло­си­пе­де  — со ско­ро­стью 30 км/ч. Вто­рой дви­жет­ся пеш­ком со ско­ро­стью 6 км/ч, а на ве­ло­си­пе­де  — со ско­ро­стью 20 км/ч. За какое наи­мень­шее время они могут до­брать­ся из А в В?

Ве­ло­си­пед можно остав­лять на до­ро­ге без при­смот­ра.

В пер­вый день завод из­го­то­вил 1454 де­та­ли и упа­ко­вал их в ко­роб­ки двух видов: боль­шие и ма­лень­кие. Из­вест­но, что ма­лень­кая ко­роб­ка вме­ща­ет 5 де­та­лей. Во вто­рой день было из­го­тов­ле­но и упа­ко­ва­но в такие же ко­роб­ки 1467 де­та­лей. При этом в пер­вый день было из­го­тов­ле­но столь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок, сколь­ко боль­ших во вто­рой, а во вто­рой день – столь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок, сколь­ко боль­ших в пер­вый. Сколь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок было ис­поль­зо­ва­но в 1-й день?

В пер­вый день завод из­го­то­вил 1454 де­та­ли и упа­ко­вал их в ко­роб­ки двух видов: боль­шие и ма­лень­кие. Из­вест­но, что ма­лень­кая ко­роб­ка вме­ща­ет 5 де­та­лей. Во вто­рой день было из­го­тов­ле­но и упа­ко­ва­но в такие же ко­роб­ки 1467 де­та­лей. При этом в пер­вый день было из­го­тов­ле­но столь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок, сколь­ко боль­ших во вто­рой, а во вто­рой день  — столь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок, сколь­ко боль­ших в пер­вый. Сколь­ко ма­лень­ких ко­ро­бок было ис­поль­зо­ва­но в 1-й день?

1 ап­ре­ля 2015 года близ­не­цы Саша и Паша пла­ни­ру­ют взять в кре­дит оди­на­ко­вые суммы денег на по­куп­ку ав­то­мо­би­лей. Саша хочет офор­мить кре­дит в банке «Вам­пи­ри­ал» под 20% го­до­вых, а Паша  — в банке «Хитер-Ин­вест» под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та у каж­до­го банка сле­ду­ю­щая: 1 ап­ре­ля каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20% и 10% со­от­вет­ствен­но), затем кли­ент пе­ре­во­дит в банк опре­де­лен­ную сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Кто из бра­тьев дол­жен будет в итоге за­пла­тить сво­е­му банку боль­ше денег, если из­вест­но, что Саша пла­ни­ру­ет вы­пла­тить долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми, а Паша  — пятью рав­ны­ми пла­те­жа­ми.

На­блю­дая за кур­сом акций АО «Наш газ  — для Вас», бро­кер за­ме­тил, что в по­не­дель­ник сто­и­мость этих акций все­гда па­да­ет на 15%, во втор­ник  — все­гда растёт на 20%,  в  среду  — все­гда па­да­ет на 10%, в чет­верг  — ни­ко­гда не ме­ня­ет­ся, в пят­ни­цу  — все­гда растёт на 5%, в суб­бо­ту и вос­кре­се­нье торги не про­во­дят­ся (Из­ме­не­ние сто­и­мо­сти в те­че­ние дня все­гда про­ис­хо­дит рав­но­мер­но, при­чем цена про­да­жи акций равна цене ее по­куп­ки в любой мо­мент вре­ме­ни).

а)  Как из­ме­нит­ся сто­и­мость акций за  не­де­лю (умень­шит­ся, уве­ли­чит­ся  или  оста­нет­ся на преж­нем уров­не)?

б)  Какую наи­боль­шую при­быль может по­лу­чить бро­кер за не­де­лю, по­ку­пая и про­да­вая эти  акции  (это  можно  де­лать  в  любое  время  лю­бо­го  ра­бо­че­го  дня),  если  в  на­ча­ле не­де­ли он имеет 1 000 000 руб­лей?

Ва­си­лий хочет взять кре­дит на сумму 1 325 535 руб­лей на 5 лет под 20% го­до­вых. Банк пред­ло­жил ему два ва­ри­ан­та:

Ва­ри­ант 1. Ва­си­лий отдаёт одну и ту же сумму каж­дый год (ан­ну­и­тет­ные пла­те­жи).

Ва­ри­ант 2. Ва­си­лий про­из­во­дит пла­те­жи так, чтобы долг умень­шал­ся после каж­до­го пла­те­жа на одну и ту же сумму (диф­фе­рен­ци­ро­ван­ные пла­те­жи).

На сколь­ко руб­лей мень­ше Ва­си­лий от­даст банку, если вы­бе­рет вто­рой ва­ри­ант.

Пер­вая и вто­рая бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить за­да­ние не более чем за 42 дня. Вто­рая и тре­тья бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить то же за­да­ние за 85 дней. Пер­вая и тре­тья бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить то же за­да­ние за 55 дней. За какое ми­ни­маль­ное целое ко­ли­че­ство дней может вы­пол­нить за­да­ние одна тре­тья бри­га­да?

Три за­во­да вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вую про­дук­цию. Из­вест­но, что еже­год­ный объём про­дук­ции на пер­вом за­во­де со­став­ля­ет треть от суммы еже­год­ных объёмов про­дук­ции на вто­ром и тре­тьем за­во­дах, а объём про­дук­ции на вто­ром за­во­де со­став­ля­ет вось­мую часть от суммы еже­год­ных объёмов на пер­вом и тре­тьем за­во­дах. Най­ди­те от­но­ше­ние суммы еже­год­ных объёмов про­дук­ции, вы­пус­ка­е­мых на пер­вом и вто­ром за­во­дах, к еже­год­но­му объёму про­дук­ции, вы­пус­ка­е­мой на тре­тьем за­во­де.

Име­ет­ся две оди­на­ко­вых по объёму банки: пер­вая с мёдом, а вто­рая с дёгтем. 

Шут­ник взял ложку дёгтя из вто­рой банки и до­ба­вил её в банку с мёдом. Пе­ре­ме­шав со­дер­жи­мое в пер­вой банке, 

шут­ник пе­ре­лил такую же ложку смеси во вто­рую банку. Потом он про­де­лал всё это ещё раз: из вто­рой банки

 пе­ре­лил ложку по­лу­чен­ной смеси в первую, после чего из пер­вой банки пе­ре­лил ложку новой смеси во  вто­рую. Опре­де­ли­те, чего ока­за­лось боль­ше: дегтя в мёде или мёда в дёгте?

Груз вна­ча­ле по­гру­зи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 80 тонн, но один вагон остал­ся за­гру­жен  не  пол­но­стью.  Тогда  весь груз пе­ре­ло­жи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 60 тонн. При этом по­на­до­би­лось на 8 ва­го­нов боль­ше, и все равно  один вагон остал­ся за­гру­жен не пол­но­стью. На­ко­нец, груз пе­ре­ло­жи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 50 тонн. При этом по­на­до­би­лось еще на 5 ва­го­нов боль­ше, и все ва­го­ны ока­за­лись пол­но­стью за­гру­жен­ны­ми. Сколь­ко было тонн груза?

Эль­ви­ра взяла в кре­дит 1 млн. руб­лей на срок 36 ме­ся­цев. По до­го­во­ру она долж­на воз­вра­щать банку часть денег в конце каж­до­го ме­ся­ца. Каж­дый месяц общая сумма долга воз­рас­та­ет на 10%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Эль­ви­рой банку в конце ме­ся­ца. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые Эль­ви­рой, под­би­ра­ют­ся так, чтобы сумма долга умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц. На сколь­ко тысяч руб­лей боль­ше Эль­ви­ра  вы­пла­тит банку в те­че­ние пер­во­го года кре­ди­то­ва­ния, не­же­ли в те­че­ние тре­тье­го года? 

Име­ет­ся три спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 30% меди и 70% олова, вто­рой  — 45% олова, 20% се­реб­ра и 35% меди, тре­тий  — 60% олова и 40% се­реб­ра. Из них не­об­хо­ди­мо со­ста­вить новый сплав,  со­дер­жа­щий 25% се­реб­ра. Какое наи­мень­шее и наи­боль­шее про­цент­ное со­дер­жа­ние олова может быть в этом новом спла­ве?

В ме­бель­ный ма­га­зин по­сту­пи­ли столы и сту­лья. Ко­ли­че­ство сто­лов со­став­ля­ет 42% от числа сту­льев.

Когда было про­да­но 78% сто­лов и 62% сту­льев, то сто­лов оста­лось менее 300 штук, а сту­льев  — более 200. 

Сколь­ко сто­лов и сколь­ко сту­льев по­сту­пи­ло в ма­га­зин?

Алек­сей взял в банке кре­дит 10 млн руб­лей под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру Алек­сей воз­вра­щал кре­дит еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го года к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­лось 10% этой суммы и своим еже­год­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­шал эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­шал сумму долга. Еже­год­ные пла­те­жи под­би­ра­лись так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый год (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась 15 млн руб­лей. Опре­де­ли­те, на сколь­ко лет Алек­сей брал кре­дит в банке.

Кол­хоз арен­до­вал два экс­ка­ва­то­ра. Арен­да пер­во­го экс­ка­ва­то­ра стоит 60 руб­лей в день, про­из­во­ди­тель­ность его в мяг­ком грун­те со­став­ля­ет 250 м³ в день, в твер­дом грун­те  — 150 м³ в день. Арен­да вто­ро­го экс­ка­ва­то­ра стоит 50 руб­лей в день, его про­из­во­ди­тель­ность в мяг­ком грун­те 480 м³ в день, а в твер­дом  — 100 м³ в день. Пер­вый про­ра­бо­тал не­сколь­ко пол­ных дней и вырыл 720 м³. Вто­рой за не­сколь­ко пол­ных дней вырыл 330 м³. Сколь­ко дней ра­бо­тал каж­дый экс­ка­ва­тор, если кол­хоз за­пла­тил за арен­ду не более 300 руб­лей.

В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­став­ля­ла х% го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года она со­ста­ви­ла у% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Име­ет­ся три па­ке­та акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тыс. руб. и не боль­ше 60 тыс. руб. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Из стро­и­тель­ных де­та­лей двух видов можно со­брать три типа домов. Для сбор­ки 12‐квар­тир­но­го дома не­об­хо­ди­мо 70 де­та­лей пер­во­го и 100 де­та­лей вто­ро­го типа. Для 16‐квар­тир­но­го дома тре­бу­ет­ся 110 и 150, а для дома на 21 квар­ти­ру нужно 150 и 200 де­та­лей пер­во­го и вто­ро­го видов со­от­вет­ствен­но. Всего име­ет­ся 900 де­та­лей пер­во­го и 1300 де­та­лей вто­ро­го вида. Сколь­ко и каких домов нужно со­брать, чтобы общее ко­ли­че­ство квар­тир в них было наи­боль­шим?

Стро­и­тель­ной ор­га­ни­за­ции не­об­хо­ди­мо по­стро­ить не­ко­то­рое ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых домов общей пло­ща­дью 2500 м². Сто­и­мость од­но­го дома пло­ща­дью a м² скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти ма­те­ри­а­лов тыс. руб, сто­и­мо­сти стро­и­тель­ных работ тыс.руб и сто­и­мо­сти от­де­лоч­ных работ тыс. руб. Числа p₁, p₂, p₃ яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, их сумма равна 21, а про­из­ве­де­ние равно 64. Если по­стро­ить 63 дома, то за­тра­ты на ма­те­ри­а­лы будут мень­ше, чем за­тра­ты на стро­и­тель­ные и от­де­лоч­ные ра­бо­ты. Сколь­ко сле­ду­ет по­стро­ить домов, чтобы общие за­тра­ты были ми­ни­маль­ны­ми?

Ав­то­фур­гон гру­зо­подъ­ем­но­стью 339 кг пе­ре­во­зит ящики с ви­но­гра­дом и яб­ло­ка­ми. Вес и сто­и­мость ящика с ви­но­гра­дом со­став­ля­ют 15 кг и 10 у. е., ящика с яб­ло­ка­ми  — 27 кг  и 8 у. е. со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на ав­то­фур­гон ящи­ков с ви­но­гра­дом со­став­ля­ет не более 70% от ко­ли­че­ства за­гру­жен­ных ящи­ков с яб­ло­ка­ми. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость всех ящи­ков с ви­но­гра­дом и яб­ло­ка­ми, пе­ре­во­зи­мых ав­то­фур­го­ном при дан­ных усло­ви­ях. 

Цех по­лу­чил заказ на из­го­тов­ле­ние 2000 де­та­лей типа А и 14000 де­та­лей типа Б. Каж­дый из 146 ра­бо­чих цеха за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние одной де­та­ли типа А время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить 2 де­та­ли типа Б. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих цеха на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но, и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа? 

По­дру­ги По­ли­на и Кри­сти­на меч­та­ют стать мо­де­ля­ми. 1 ян­ва­ря они ре­ши­ли на­чать ху­деть. При этом вес у По­ли­ны ока­зал­ся на 10% боль­ше, чем у Кри­сти­ны.

31 ян­ва­ря вы­яс­ни­лось, что По­ли­на сбро­си­ла 4% сво­е­го веса, а Кри­сти­на 1%. В фев­ра­ле Кри­сти­на со­би­ра­ет­ся по­ху­деть еще на 2%.

а)  На какое наи­мень­шее целое число % нужно по­ху­деть в фев­ра­ле По­ли­не, чтобы к 1 марта её вес стал мень­ше, чем у Кри­сти­ны?

б)  Сколь­ко будет ве­сить к концу фев­ра­ля Кри­сти­на, если из­вест­но, что 1 ян­ва­ря По­ли­на ве­си­ла 55 кг?

Вла­ди­мир вла­де­ет двумя за­во­да­ми по про­из­вод­ству хо­ло­диль­ни­ков. Про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го за­во­да не пре­вы­ша­ет 950 хо­ло­диль­ни­ков в сутки. Про­из­во­ди­тель­ность вто­ро­го за­во­да пер­во­на­чаль­но со­став­ля­ла 95% от про­из­во­ди­тель­но­сти пер­во­го. После ввода до­пол­ни­тель­ной линии вто­рой завод уве­ли­чил про­из­вод­ство хо­ло­диль­ни­ков в сутки ровно на 23% от числа хо­ло­диль­ни­ков, про­из­во­ди­мых на пер­вом за­во­де, и стал вы­пус­кать их более 1000 штук. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков за сутки вы­пус­кал каж­дый завод до ре­кон­струк­ции вто­ро­го за­во­да?

Для про­из­вод­ства не­ко­то­ро­го про­дук­та В, со­дер­жа­ще­го 40% спир­та, Алек­сей может за­ку­пать сырьё у двух по­став­щи­ков А и Б. По­став­щик А пред­ла­га­ет 90%‐ый рас­твор спир­та в ка­ни­страх объёмом 1000 л по цене 100 тыс. руб. за ка­ни­стру. По­став­щик Б пред­ла­га­ет 80%‐ый рас­твор спир­та в ка­ни­страх объёмом 2000 л по цене 160 тыс. руб. за ка­ни­стру. По­лу­чен­ный в ходе про­из­вод­ства про­дукт В раз­ли­ва­ет­ся в бу­тыл­ки объёмом 0,5 л. Какую наи­мень­шую сумму Алек­сей дол­жен за­тра­тить на сырье, если пла­ни­ру­ет­ся про­из­ве­сти ровно 60 000 бу­ты­лок про­дук­та В?  

1 марта 2016 г. Иван Льво­вич по­ло­жил 20 000 руб­лей на бан­ков­ский вклад сро­ком на 1 год с еже­ме­сяч­ным на­чис­ле­ни­ем про­цен­тов и ка­пи­та­ли­за­ци­ей под 21% го­до­вых. Это озна­ча­ет, что пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов, рас­счи­тан­ное таким об­ра­зом, что за 12 ме­ся­цев она уве­ли­чит­ся ровно на 21%. Через сколь­ко ме­ся­цев сумма вкла­да впер­вые пре­вы­сит 22 000 руб­лей? 

1 марта 2012 года близ­не­цы Саша и Паша ре­ши­ли от­крыть в банке вклад на 3 года. У каж­до­го из них име­лась сумма 700 000 руб­лей. Саша вло­жил свои день­ги под 10% го­до­вых. Паша пе­ре­вел все свои день­ги в дол­ла­ры, отдав 35  руб­лей за каж­дый дол­лар, и от­крыл ва­лют­ный вклад под 1% го­до­вых. Через три года Саша и Паша за­кры­ли свои счета. Паша тут же решил всю сня­тую сумму снова пе­ре­ве­сти в рубли. Из­вест­но, что 1 марта 2015 года банк давал за 1 дол­лар 50 руб­лей. У кого из бра­тьев в итоге на руках ока­за­лась боль­шая сумма? На сколь­ко руб­лей?

Пла­ни­ру­ет­ся вы­дать льгот­ный кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на че­ты­ре года. В се­ре­ди­не каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг заёмщика воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года. По до­го­ворённо­сти с бан­ком в конце 1-го и 3-го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год. В конце 2-го и 4-го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу 4-го года весь долг пол­но­стью. Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат заёмщика пре­вы­сит 100 млн. руб­лей.

Ва­ле­рий пла­ни­ру­ет вло­жить 1 млн. руб­лей в сбе­ре­га­тель­ный сер­ти­фи­кат. Банк пред­ла­га­ет кли­ен­там сбе­ре­га­тель­ные сер­ти­фи­ка­ты трёх видов (при ми­ни­маль­ной сумме вкла­да 1 млн. руб­лей):

1-й: сро­ком на 3 года и уве­ли­че­ни­ем вкла­да на 40%;

2-й: сро­ком на 2 года и уве­ли­че­ни­ем вкла­да на 25%;

3-й: сро­ком на 1 год и уве­ли­че­ни­ем вкла­да на 10%.

Если кли­ент за­кры­ва­ет вклад по сбе­ре­га­тель­но­му сер­ти­фи­ка­ту рань­ше уста­нов­лен­но­го срока, то про­цен­ты по вкла­ду не на­чис­ля­ют­ся.

Какая наи­боль­шая сумма может ока­зать­ся у Ва­ле­рия через 4 года после об­на­ли­чи­ва­ния сер­ти­фи­ка­та? (Пред­по­ла­га­ет­ся, что за это время про­цент­ные став­ки по сер­ти­фи­ка­там ме­нять­ся не будут).

На из­го­тов­ле­ние от­кры­то­го кон­тей­не­ра 10 м³ в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, одна из бо­ко­вых гра­ней ко­то­ро­го  — квад­рат, тре­бу­ют­ся угол­ки по длине всех рёбер (12 рёбер) и фа­не­ра на бо­ко­вые стен­ки и пол. Цена угол­ков  — 10 руб­лей за по­гон­ный метр, цена фа­не­ры  — 40 руб­лей за квад­рат­ный метр. Ка­ко­вы долж­ны быть раз­ме­ры кон­тей­не­ра, чтобы рас­хо­ды на ма­те­ри­ал были ми­ни­маль­ны­ми? Сколь­ко руб­лей при этом со­ста­вят рас­хо­ды?

Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль. Од­но­вре­мен­но с ним из пунк­та С, рас­по­ло­жен­но­го между А и В, в город А вы­ехал вто­рой ав­то­мо­биль. Пер­вый при­был в В од­но­вре­мен­но с при­бы­ти­ем вто­ро­го в А. Затем ав­то­мо­би­ли од­но­вре­мен­но вы­еха­ли нав­стре­чу друг другу, встре­ти­лись в пунк­те P, и од­но­вре­мен­но при­бы­ли пер­вый  — в А, вто­рой  — в В. Каж­дый ав­то­мо­биль ехал со своей по­сто­ян­ной ско­ро­стью, но вто­рой сде­лал оста­нов­ку на пути от С к А, а пер­вый  — оста­нов­ку той же про­дол­жи­тель­но­сти на пути от В к P. Най­ди­те рас­сто­я­ние между С и P, если рас­сто­я­ние от А до С равно 270 км, а рас­сто­я­ние от С до В равно 180 км.

1 ав­гу­ста 2016 года Ва­ле­рий от­крыл в банке счёт «По­пол­няй» на че­ты­ре года под 10% го­до­вых, вло­жив 100 тысяч руб­лей. 1 ав­гу­ста 2017 и 1 ав­гу­ста 2019 года он пла­ни­ру­ет до­кла­ды­вать на счёт по n тысяч руб­лей. Най­ди­те наи­мень­шее целое n, при ко­то­ром к 1 ав­гу­ста 2020 года на счету y Ва­ле­рия ока­жет­ся не менее 200 тысяч руб­лей.

В 2011‐м году во время празд­но­ва­ния сво­е­го дня рож­де­ния я об­на­ру­жил, что если между циф­ра­ми моего года рож­де­ния вста­вить знаки дей­ствий «×»,  «+»,  «×», то по­лу­чи­лось бы вы­ра­же­ние, рав­ное моему то­гдаш­не­му воз­рас­ту. Сколь­ко лет мне ис­пол­нит­ся в 2017‐м году?

В рас­по­ря­же­нии про­ра­ба Ва­ле­рия име­ет­ся бри­га­да ка­мен­щи­ков в со­ста­ве 40 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на не­де­лю на два стро­я­щих­ся объ­ек­та.  

Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их не­дель­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 1,5t² тыс. руб­лей.  

Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их не­дель­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 2t² тыс. руб­лей.

Как Ва­ле­рию нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты бри­га­ду ка­мен­щи­ков, чтобы вы­пла­ты на их не­дель­ную зар­пла­ту ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко руб­лей в этом слу­чае пой­дет на зар­пла­ту?

Три стан­ка‐ав­то­ма­та раз­ной мощ­но­сти долж­ны из­го­то­вить по 800 де­та­лей. Сна­ча­ла за­пу­сти­ли пер­вый ста­нок, спу­стя 20 мин.  — вто­рой, а еще через 35 мин.  — тре­тий. Каж­дый из них ра­бо­тал без сбоев и оста­но­вок, при­чем в ходе  ра­бо­ты был мо­мент, когда каж­дый ста­нок вы­пол­нил одну и ту же часть за­да­ния. На сколь­ко минут рань­ше вто­ро­го стан­ка за­кон­чил ра­бо­ту тре­тий, если пер­вый спра­вил­ся с за­да­ни­ем через 1 ч. 28 мин. после тре­тье­го?

20‐го де­каб­ря Ва­ле­рий взял кре­дит в банке на сумму 500 тысяч руб­лей сро­ком на пять ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та пред­став­ле­ны ниже:

− 5‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на целое число n про­цен­тов  по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем;

− с 6‐го по 19‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга; 

− 20‐го  числа  каж­до­го  ме­ся­ца  долг  дол­жен  со­став­лять  не­ко­то­рую  сумму  в  со­от­вет­ствии с таб­ли­цей: 

Най­ди­те наи­мень­шее целое n, при ко­то­ром сумма вы­плат сверх взя­то­го кре­ди­та (вы­пла­ты по про­цен­там) со­ста­вит более 200 тысяч руб­лей.

Два оди­на­ко­вых бас­сей­на од­но­вре­мен­но на­ча­ли на­пол­нять­ся водой. В пер­вый бас­сейн по­сту­па­ет в час на 30 м³ боль­ше воды, чем во вто­рой. В не­ко­то­рый мо­мент в двух бас­сей­нах вме­сте ока­за­лось столь­ко воды, сколь­ко со­став­ля­ет объем каж­до­го из них. После этого через 2 ч 40 мин на­пол­нил­ся пер­вый бас­сейн, а еще через 3 ч 20 мин  — вто­рой. Сколь­ко воды по­сту­па­ло в час во вто­рой бас­сейн? За какое время на­пол­нил­ся вто­рой бас­сейн?

По двум вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным шоссе в на­прав­ле­нии их пе­ре­се­че­ния од­но­вре­мен­но на­чи­на­ют дви­гать­ся два ав­то­мо­би­ля: один со ско­ро­стью 80 км/ч, дру­гой 60 км/ч. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни каж­дый ав­то­мо­биль на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 100 км от пе­ре­крест­ка. Опре­де­ли­те время после на­ча­ла дви­же­ния, через ко­то­рое рас­сто­я­ние между ав­то­мо­би­ля­ми будет наи­мень­шим. Ка­ко­во это рас­сто­я­ние?

В на­ча­ле ян­ва­ря 2017 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на S млн руб­лей, где S  — целое число, на 4 года. Усло­вия его воз­вра­та ука­за­ны ниже.

  — Каж­дый июль долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го года.  

  — С ав­гу­ста по де­кабрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

  — В  ян­ва­ре  каж­до­го  года  долг  дол­жен  со­став­лять  часть  кре­ди­та  в  со­от­вет­ствии  со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей: 

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром раз­ность между наи­боль­шей им наи­мень­шей вы­пла­та­ми не будет пре­вы­шать 2 млн руб­лей.

Два пе­ше­хо­да идут нав­стре­чу друг другу: один из А в В, а дру­гой  — из В в А. Они вышли од­но­вре­мен­но, и когда пер­вый про­шел по­ло­ви­ну пути, вто­ро­му оста­ва­лось идти еще 1,5 часа, а когда вто­рой про­шел по­ло­ви­ну пути, то пер­во­му оста­ва­лось идти еще 45 минут. На сколь­ко минут рань­ше за­кон­чит свой путь пер­вый пе­ше­ход, чем вто­рой?

1 марта 2016 года Ва­ле­рий по­ло­жил в банк 100 тыс. руб. под 10% го­до­вых сро­ком на 4 года. Через два года он пла­ни­ру­ет снять со сво­е­го счета N тыс. руб. (N  — целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету ока­за­лось не менее 130 тыс. руб. Какую наи­боль­шую сумму N может снять со сво­е­го счёта Ва­ле­рий 1 марта 2018 года?

16 но­яб­ря близ­не­цы Саша и Паша взяли в банке кре­дит по 500 тысяч руб. каж­дый сро­ком на че­ты­ре ме­ся­ца. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы: 

1)  28‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10 % по срав­не­нию с 16‐м чис­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца; 

2)  с 1‐го по 15‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга; 16 -го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии с пред­ло­жен­ной для каж­до­го из них таб­ли­цей:

Кто из бра­тьев за че­ты­ре ме­ся­ца вы­пла­тит банку мень­шую сумму? На сколь­ко руб­лей?

Не­ко­то­рое пред­при­я­тие при­но­сит убыт­ки, со­став­ля­ю­щие 300 млн руб. в год. Для пре­вра­ще­ния его в рен­та­бель­ное было пред­ло­же­но уве­ли­чить ас­сор­ти­мент про­дук­ции. Под­сче­ты по­ка­за­ли, что до­пол­ни­тель­ные до­хо­ды, при­хо­дя­щи­е­ся на каж­дый новый вид про­дук­ции, со­ста­вят 84 млн руб. в год, а до­пол­ни­тель­ные рас­хо­ды, ока­жут­ся рав­ны­ми 5 млн руб. в год при осво­е­нии од­но­го но­во­го вида, но осво­е­ние каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го по­тре­бу­ет на 5 млн руб. в год боль­ше рас­хо­дов, чем осво­е­ние преды­ду­ще­го. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство видов новой про­дук­ции не­об­хо­ди­мо осво­ить, чтобы пред­при­я­тие стало рен­та­бель­ным? Какой наи­боль­шей го­до­вой при­бы­ли может до­бить­ся пред­при­я­тие за счет уве­ли­че­ния ас­сор­ти­мен­та про­дук­ции?

1 де­каб­ря 2016 года Ва­ле­рий взял в банке в кре­дит 523 тыс. руб. под 10% го­до­вых сро­ком на три года. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 30 но­яб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем с 1‐го до 30‐го де­каб­ря Ва­ле­рий вы­пла­чи­ва­ет банку часть долга. По до­го­во­рен­но­сти с бан­ком было опре­де­ле­но, что вто­рой пла­теж будет в три раза мень­ше пер­во­го, а тре­тий – в два раза мень­ше вто­ро­го. Сколь­ко руб­лей дол­жен будет вы­пла­тить банку Ва­ле­рий в де­каб­ре 2018 года?

В ма­га­зин по­сту­пил товар I и II сор­тов на общую сумму 4,5 млн руб. Если весь товар про­дать по цене II сорта, то убыт­ки со­ста­вят 0,5 млн руб., а если весь товар ре­а­ли­зо­вать по цене I сорта, то будет по­ле­че­на при­быль 0,3 млн руб. На какую сумму был при­об­ре­тен товар I и II сор­тов в от­дель­но­сти?

Из пунк­та А в пункт В со ско­ро­стью 80 км/ч вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через не­ко­то­рое время c по­сто­ян­ной ско­ро­стью  — вто­рой. После оста­нов­ки на 20 мин в пунк­те В вто­рой ав­то­мо­биль по­ехал с той же ско­ро­стью назад. Через 48 км он встре­тил пер­вый ав­то­мо­биль, шед­ший нав­стре­чу, и был на рас­сто­я­нии 120 км от В в тот мо­мент, когда в пункт В при­был пер­вый ав­то­мо­биль. Найти рас­сто­я­ние от А до места пер­вой встре­чи, если рас­сто­я­ние между пунк­та­ми А и В равно 480 км.

Из со­су­да, на­пол­нен­но­го чи­стым гли­це­ри­ном, от­ли­ли 1 л, после этого в сосуд до­ба­ви­ли 1 л воды. Затем от­ли­ли 1 л смеси и вновь до­ли­ли 1 л воды. То же самое про­де­ла­ли в тре­тий раз, в ре­зуль­та­те чего воды в со­су­де стало в 7 раз боль­ше, чем гли­це­ри­на. Най­ди­те объем со­су­да. В каком от­но­ше­нии на­хо­ди­лись объ­е­мы гли­це­ри­на и воды после вто­ро­го до­ли­ва­ния воды в сосуд?

На­ка­ну­не Но­во­го года Деды Мо­ро­зы рас­кла­ды­ва­ли рав­ны­ми ко­ли­че­ства­ми кон­фе­ты в по­да­роч­ные па­ке­ты, а эти па­ке­ты скла­ды­ва­ли в мешки, по 2 па­ке­та в один мешок. Те же самые кон­фе­ты они могли раз­ло­жить в па­ке­ты так, что в каж­дом из них было бы на 5 кон­фет мень­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дом мешке стало бы ле­жать по 3 па­ке­та, а меш­ков при этом по­тре­бо­ва­лось бы на 2 мень­ше. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кон­фет могли рас­кла­ды­вать Деды Мо­ро­зы?

Два куска ткани стоят 49 640 руб. Цена 5 м более де­ше­вой ткани на 40 руб. боль­ше цены 4 м более до­ро­гой, а 4 м более де­ше­вой ткани и 5 м более до­ро­гой вме­сте стоят 5280 руб. Из­вест­но также, что де­ше­вой ткани име­ет­ся на 4 м боль­ше, чем до­ро­гой. Най­ди­те длину обоих кус­ков.

Саша и Паша по­ло­жи­ли по 100 тыс. руб. в банк под 10% го­до­вых сро­ком на три года. При этом Паша через год снял n тыс. руб. (n  — целое число), а еще через год снова до­ло­жил n тыс. руб. на свой счет. При каком наи­мень­шем зна­че­нии n через три года раз­ность между сум­ма­ми на счету Саши и Паши ока­жет­ся не менее 3 тыс. руб.

Граж­да­нин по­ло­жил 1 млн руб­лей в банк на 4 года. В конце каж­до­го года на ле­жа­щую сумму на­чис­ля­ет­ся 10%. Он решил в конце каж­до­го из 3‐х пер­вых лет (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) сни­мать оди­на­ко­вую сумму денег. Эта сумма долж­на быть такой, чтобы после 4‐х лет после на­чис­ле­ния про­цен­тов за 4‐й год у него на счету было не менее 1200 тыс. руб­лей. Какую мак­си­маль­ную сумму может сни­мать граж­да­нин? Ответ округ­ли­те до целой ты­ся­чи в мень­шую сто­ро­ну.

На со­бра­нии ак­ци­о­не­ров было ре­ше­но уве­ли­чить при­быль пред­при­я­тия за счет рас­ши­ре­ния ас­сор­ти­мен­та про­дук­ции. Эко­но­ми­че­ский ана­лиз по­ка­зал, что:

1)  до­пол­ни­тель­ные до­хо­ды, при­хо­дя­щи­е­ся на каж­дый новый вид про­дук­ции, ока­жут­ся рав­ны­ми 70 млн руб. в год;

2)  до­пол­ни­тель­ные рас­хо­ды при осво­е­нии од­но­го но­во­го вида со­ста­вят 11 млн руб. в год, а осво­е­ние каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го вида по­тре­бу­ет на 7 млн руб. в год боль­ше рас­хо­дов, чем осво­е­ние преды­ду­ще­го. Найти зна­че­ние мак­си­маль­но воз­мож­но­го при­ро­ста при­бы­ли.

Зоо­парк рас­пре­де­ля­ет 111 кг мяса между ли­са­ми, лео­пар­да­ми и льва­ми. Каж­дой лисе по­ла­га­ет­ся 2 кг мяса, лео­пар­ду  — 14 кг, льву 21 кг. Из­вест­но, что у каж­до­го льва бы­ва­ет еже­днев­но 230 по­се­ти­те­лей, у каж­до­го лео­пар­да  — 160, у каж­дой лисы 20. Сколь­ко долж­но быть лис, лео­пар­дов и львов в зоо­пар­ке, чтобы еже­днев­но число по­се­ти­те­лей у этих жи­вот­ных было наи­боль­шим?

Для уве­ли­че­ния вы­пус­ка про­дук­ции ре­ше­но рас­ши­рить про­из­вод­ство за счет ис­поль­зо­ва­ния име­ю­щей­ся сво­бод­ной пло­ща­ди в 70 кв. м, на ко­то­рой пред­по­ла­га­ет­ся уста­но­вить обо­ру­до­ва­ние двух видов общей сто­и­мо­стью не более 100 млн.руб. Каж­дый ком­плект обо­ру­до­ва­ния вида А за­ни­ма­ет 20 кв. м, стоит 10 млн руб. и поз­во­ля­ет по­лу­чить за смену 40 ед. про­дук­ции, а каж­дый ком­плект обо­ру­до­ва­ния вида В за­ни­ма­ет 10 кв. м, стоит 30 млн руб. и поз­во­ля­ет по­лу­чить за смену 80 ед. про­дук­ции. Опре­де­лить зна­че­ние мак­си­маль­но воз­мож­но­го при­ро­ста вы­пус­ка про­дук­ции за смену.

Пра­ви­тель­ство не­ко­то­ро­го го­су­дар­ства пла­ни­ро­ва­ло двух­ра­зо­вое по­вы­ше­ние пен­сий в 2017 году: 1 ян­ва­ря и 1 июля на 2%. А в ре­аль­но­сти оно ре­ши­ло за­ме­нить это по­вы­ше­ние еди­но­вре­мен­ной вы­пла­той в 5 тысяч руб­лей. Най­ди­те наи­боль­шую пен­сию в де­каб­ре 2016 года, при ко­то­рой вы­пла­та в 5 тысяч руб­лей была бы вы­год­нее, чем пла­ни­ру­е­мое по­вы­ше­ние. (Если из­вест­но, что пен­сия крат­на 100 руб.)

На счет, ко­то­рый вклад­чик имел в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла, на­чис­ля­ет­ся в конце этого квар­та­ла %, и на тот счет, ко­то­рый вклад­чик имел в на­ча­ле вто­ро­го квар­та­ла на­чис­ля­ет­ся %, при­чем Вклад­чик по­ло­жил в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла не­ко­то­рую сумму и снял в конце того же квар­та­ла (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) по­ло­ви­ну по­ло­жен­ной суммы. При каком зна­че­нии счет вклад­чи­ка в конце вто­ро­го квар­та­ла ока­жет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ным?

Общий при­зо­вой фонд тур­ни­ра по во­лей­бо­лу не менее 37 тыс. руб. Из него вы­пла­чи­ва­ют­ся ко­ман­дам день­ги ку­пю­ра­ми по 1 тыс. руб. по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу. Ко­ман­да, за­няв­шая 1 место, по­лу­чит по­ло­ви­ну фонда и еще 0,5 тыс. руб.; вто­рая ко­ман­да  — по­ло­ви­ну остав­ших­ся денег и еще 0,5 тыс. руб.; тре­тья  — по­ло­ви­ну остат­ка и еще 0,5 тыс. руб. и т. д. Из­вест­но, что после вы­да­чи денег, в кассе оста­лось не более 4 тыс. руб. Какое ми­ни­маль­ное число ко­манд могло участ­во­вать в тур­ни­ре по этим пра­ви­лам? Сколь­ко при этом было денег в фонде, и сколь­ко по­лу­чи­ла каж­дая ко­ман­да, если из­вест­но, что ку­пю­ры не раз­ме­ни­ва­лись?

Граж­да­нин А по­ло­жил в на­ча­ле года не­ко­то­рую сумму денег в банк под 10% го­до­вых. В конце года, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, он снял чет­верть пер­во­на­чаль­ной суммы. Через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, он снял еще чет­верть пер­во­на­чаль­ной суммы. И так он по­сту­пал каж­дый год. Через сколь­ко лет (после на­чис­ле­ния про­цен­тов), у него на счету ока­жет­ся мень­ше, чем чет­верть пер­во­на­чаль­ной суммы.

В банке ку­пи­ли мо­не­ты до­сто­ин­ством 1 дол., 1 евро и 1 фунт стер­лин­гов. Всего 100 монет. Цена монет на день по­куп­ки со­став­ля­ла: 1 дол.  — 32 руб., 1 евро  — 40 руб., 1 фунт стер­лин­гов  — 50 руб. На всю по­куп­ку за­тра­ти­ли 3930 руб. Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство дол­ла­ров могло быть куп­ле­но?

Граж­да­нин по­ло­жил в каж­дый из двух бан­ков по 5 млн руб. В пер­вом банке в конце года на­чис­ля­ет­ся одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов на сумму, ле­жа­щую в банке в на­ча­ле года. Во вто­ром банке прин­цип на­чис­ле­ния про­цен­тов сле­ду­ю­щий: в пер­вый год про­цент­ная став­ка на 3 мень­ше, чем в пер­вом банке, а затем она каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2%. В итоге, к концу чет­вер­то­го года на счету у граж­да­ни­на в пер­вом банке было на 5617 руб. 55 коп. боль­ше, чем во вто­ром. Найти про­цент­ную став­ку в пер­вом банке.

1 ап­ре­ля 2017 года Иван Ар­ноль­до­вич от­крыл в банке счёт «Управ­ляй», вло­жив 1 млн. руб­лей сро­ком на 4 года под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру с бан­ком про­цен­ты по вкла­ду долж­ны на­чис­лять­ся 31 марта каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года. 1 ап­ре­ля 2018 года и 1 ап­ре­ля 2019 года Иван Ар­ноль­до­вич решил по­пол­нять счёт на п тысяч руб­лей (п – целое число). 1 ап­ре­ля 2020 года Иван Ар­ноль­до­вич пла­ни­ру­ет снять со сво­е­го счета все на­бе­жав­шие к тому вре­ме­ни про­цен­ты. 1 ап­ре­ля 2021 года Иван Ар­ноль­до­вич со­би­ра­ет­ся за­крыть счёт в банке и за­брать все при­чи­та­ю­щи­е­ся ему день­ги. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние п, при ко­то­ром доход Ивана Ар­ноль­до­ви­ча от вло­же­ний в банк за эти 4 года ока­жет­ся не менее 500 тыс. руб­лей.

Али‐Баба при­шел в пе­ще­ру, где есть зо­ло­то и ал­ма­зы. У Али‐Бабы с собой ока­зал­ся мешок. Из­вест­но, что пол­ный мешок зо­ло­та весит 200 кг, пол­ный мешок ал­ма­зов  — 40 кг, а пу­стой мешок ни­че­го не весит. Ки­ло­грамм зо­ло­та стоит 20 ди­на­ров, а ки­ло­грамм ал­ма­зов  — 60 ди­на­ров. Какую наи­боль­шую сумму денег может вы­ру­чить Али‐Баба за со­кро­ви­ща, если он может уне­сти с собой не более 100 кг?

Име­ют­ся три не со­об­ща­ю­щих­ся между собой ре­зер­ву­а­ра. Из­вест­но, что объем пер­во­го равен 60 куб. м., а объем вто­ро­го мень­ше объ­е­ма тре­тье­го. Пер­вый ре­зер­ву­ар может быть на­пол­нен пер­вым шлан­гом за 3 ч, вто­рым шлан­гом  — за 4 ч, тре­тьим шлан­гом  — за 5 ч. К каж­до­му из ре­зер­ву­а­ров под­клю­ча­ют какой‐либо один из этих шлан­гов, после чего шлан­ги од­но­вре­мен­но вклю­ча­ют. Как толь­ко какой‐ни­будь ре­зер­ву­ар на­пол­нит­ся, со­от­вет­ству­ю­щий шланг от­клю­ча­ет­ся. При самом быст­ром спо­со­бе под­клю­че­ния на за­пол­не­ние всех трех ре­зер­ву­а­ров ухо­дит 6 ч. Если бы ре­зер­ву­а­ры со­об­ща­лись, то на их за­пол­не­ние ушло бы 4 ч. Най­ди­те объем вто­ро­го и тре­тье­го ре­зер­ву­а­ров.

На по­куп­ку тет­ра­дей в клет­ку и в ли­ней­ку можно за­тра­тить не более 140 руб. Тет­радь в клет­ку стоит 3 руб., в ли­ней­ку  — 2 руб. Число куп­лен­ных тет­ра­дей в клет­ку не долж­но от­ли­чать­ся от числа тет­ра­дей в ли­ней­ку более, чем на 9. Не­об­хо­ди­мо ку­пить мак­си­маль­но воз­мож­ное сум­мар­ное ко­ли­че­ство тет­ра­дей, при этом тет­ра­дей в ли­ней­ку нужно ку­пить как можно мень­ше. Сколь­ко тет­ра­дей в клет­ку и сколь­ко в ли­ней­ку можно ку­пить при ука­зан­ных усло­ви­ях?

Два на­со­са пе­ре­ка­чи­ва­ют нефть из двух ре­зер­ву­а­ров в тан­кер. Сна­ча­ла I‐й насос пе­ре­ка­чал всю нефть из пер­во­го ре­зер­ву­а­ра, затем нефть из вто­ро­го ре­зер­ву­а­ра была пе­ре­ка­ча­на вме­сте I‐м и II‐м на­со­са­ми. После того, как была пе­ре­ка­ча­на всей нефти, ока­за­лось, что время, не­об­хо­ди­мое для за­вер­ше­ния ра­бо­ты, в раза мень­ше вре­ме­ни, за ко­то­рое мог бы пе­ре­ка­чать всю нефть один I‐й насос. Кроме того, из­вест­но, что если бы из вто­ро­го ре­зер­ву­а­ра нефть пе­ре­ка­чи­вал толь­ко II‐й насос, то ему для этого по­тре­бо­ва­лось бы вдвое боль­ше вре­ме­ни, не­же­ли I‐ому на­со­су для пе­ре­кач­ки всей нефти из обоих ре­зер­ву­а­ров. Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз про­из­во­ди­тель­ность I‐го на­со­са боль­ше про­из­во­ди­тель­но­сти II‐го.

Роман Аб­ра­мо­вич внес в банк «Альфа» S тысяч руб­лей (S  — целое число) под 10% го­до­вых сро­ком на три года. Од­но­вре­мен­но с ним Абрам Ро­ма­но­вич внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под 15% го­до­вых с воз­мож­но­стью про­лон­ги­ро­вать (про­длить) вклад на вто­рой год под 10% го­до­вых, а на тре­тий  — под 5% го­до­вых. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром суммы на сче­тах Ро­ма­на Аб­ра­мо­ви­ча и Аб­ра­ма Ро­ма­но­ви­ча спу­стя три года будут от­ли­чать­ся более, чем на 300 тысяч руб­лей.

Граж­дан­ка Ва­си­лье­ва вло­жи­ла 44 млрд руб­лей в два офф­шор­ных банка на 3 года: часть денег в банк А, осталь­ное в банк Б. Из­вест­но, что банк А еже­год­но на­чис­ля­ет 10% го­до­вых; банк Б в пер­вый год на­чис­ля­ет 5% го­до­вых, во вто­рой  — 10%, а в тре­тий  — 15%. Сколь­ко руб­лей было вло­же­но в каж­дый из бан­ков, если через три года доход граж­дан­ки Ва­си­лье­вой от вло­же­ния денег со­ста­вил 14 520 млн руб­лей.

В ав­гу­сте пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июль каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга, рав­ную 1080 тыс. руб­лей. Сколь­ко тысяч руб­лей было взято в банке, если из­вест­но, что кре­дит был пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за 3 года)?

1 ап­ре­ля 2017 года Юрий от­крыл в банке счёт «По­пол­няй», вло­жив 6 млн. руб­лей сро­ком на 4 года под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру с бан­ком про­цен­ты по вкла­ду долж­ны на­чис­лять­ся 31 марта каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года.

1 ап­ре­ля 2018 года и 1 ап­ре­ля 2020 года Юрий решил по­пол­нять счёт на п тысяч руб­лей (п – целое число).

1 ап­ре­ля 2021 года Юрий со­би­ра­ет­ся за­крыть счёт в банке и за­брать все при­чи­та­ю­щи­е­ся ему день­ги.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние п, при ко­то­ром доход Юрия от вло­же­ний в банк за эти 4 года ока­жет­ся не более 3 млн. руб­лей.

В июне пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 5 млн. руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по май каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать часть долга.

  — в июне каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июнь преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет был взят кре­дит, если из­вест­но, что сумма вы­плат банку сверх взя­то­го кре­ди­та после его пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­ви­ла 3 млн. руб­лей?

В на­ча­ле ян­ва­ря 2018 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 4 года на S млн. руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый июль долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го года;

  — с ав­гу­ста по де­кабрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — В ян­ва­ре каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром сумма вы­плат банку за все 4 года со­ста­вит не менее 10 млн. руб­лей.

Фёдор яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 3t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t² часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Фёдор пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 30 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Мит­ро­фан хочет взять в кре­дит 1,7 млн. руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Мит­ро­фан взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 300 тысяч руб­лей?

Джим Хокинс пла­ни­ру­ет найти со­кро­ви­ща сто­и­мо­стью 300 тыс. фун­тов стер­лин­гов, ко­то­рые спря­тал ка­пи­тан Флинт. Перед на­ча­лом по­ис­ков он взял кре­дит в раз­ме­ре 10 тыс. фун­тов стер­лин­гов у со­сто­я­тель­но­го сквай­е­ра Тре­ло­ни, чтобы сна­ря­дить шхуну «Ис­па­ньо­ла» для по­ис­ка со­кро­вищ. Усло­вия кре­ди­то­ва­ния та­ко­вы, что еже­ме­сяч­но за поль­зо­ва­ние де­неж­ны­ми сред­ства­ми Джим Хокинс дол­жен за­пла­тить Тре­ло­ни 40% от суммы долга, еже­ме­сяч­ные про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся на тело долга (каж­дый месяц Джим пла­тит про­цен­ты от 10 тыс. фун­тов стер­лин­гов). Через сколь­ко пол­ных ме­ся­цев Джим Хокинс га­ран­ти­ро­ван­но пла­ни­ру­ет найти со­кро­ви­ща, если после вы­пла­ты долга он хочет по­лу­чить на руки не менее 230 тыс. фун­тов стер­лин­гов? (Джим Хокинс во время по­ис­ка со­кро­вищ не может вы­пла­чи­вать долг, а пла­тит его вме­сте с про­цен­та­ми после на­хож­де­ния со­кро­вищ).

В двух ко­роб­ках лежат ка­ран­да­ши: в пер­вой крас­ные, во вто­рой  — синие, при­чем, крас­ных было мень­ше, чем синих. Сна­ча­ла 40% ка­ран­да­шей из пер­вой ко­роб­ки пе­ре­ло­жи­ли во вто­рую. Затем 20% ка­ран­да­шей, ока­зав­ших­ся во вто­рой ко­роб­ке, пе­ре­ло­жи­ли в первую, при­чем по­ло­ви­ну из пе­ре­ло­жен­ных ка­ран­да­шей со­став­ля­ли синие. После этого крас­ных ка­ран­да­шей в пер­вой ко­роб­ке ока­за­лось на 26 боль­ше, чем во вто­рой, а общее ко­ли­че­ство ка­ран­да­шей во вто­рой ко­роб­ке уве­ли­чи­лось по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным более, чем на 5%. Най­ди­те общее ко­ли­че­ство синих ка­ран­да­шей.

Иван Пет­ро­вич по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год в счет по­га­ше­ния кре­ди­та он вер­нул в банк 1/6 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни. А еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та Иван Пет­ро­вич внес в банк сумму, на 20% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Баржу гру­зо­подъ­ем­но­стью 180 тонн ис­поль­зу­ют для пе­ре­воз­ки кон­тей­не­ров типов А и В. По усло­ви­ям до­го­во­ра ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых кон­тей­не­ров типа А долж­но со­став­лять не более 75% ко­ли­че­ства пе­ре­во­зи­мых кон­тей­не­ров типа В. Вес и сто­и­мость од­но­го кон­тей­не­ра типа А со­став­ля­ет 3 тонны и 3 млн. руб., кон­тей­не­ра типа В  — 7 тонн и 5 млн. руб. со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость (в млн. руб.) всех кон­тей­не­ров, ко­то­рые можно пе­ре­вез­ти при дан­ных усло­ви­ях. Ука­жи­те число кон­тей­не­ров типа А и число кон­тей­не­ров типа В, ко­то­рые нужно пе­ре­вез­ти для по­лу­че­ния наи­боль­шей воз­мож­ной сум­мар­ной сто­и­мо­сти.

16 но­яб­ря Ни­ки­та взял в банке в кре­дит 1 млн. руб. на шесть ме­ся­цев. Усло­вия

воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

  — 28‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с 16‐м ислом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 1‐го по 10‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в слу­чае за­держ­ки вы­плат (от 1 до 5 дней) до­пол­ни­тель­но взи­ма­ют­ся пени: за каж­дые про­сро­чен­ные сутки 1% от суммы, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо было вы­пла­тить в те­ку­щем ме­ся­це;

  — 16‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей:

Опре­де­ли­те сколь­ко тысяч руб­лей Ни­ки­та вы­пла­тит банку сверх взя­то­го кре­ди­та, если из­вест­но, что он осу­ществ­лял вы­пла­ты 7 де­каб­ря, 12 ян­ва­ря, 10 фев­ра­ля, 9 марта, 1 ап­ре­ля и 15 мая.

1 но­яб­ря 2017 года Ни­ко­лай от­крыл в банке счёт «Управ­ляй», вло­жив S тысяч руб­лей (S  — целое число) сро­ком на 4 года под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру с бан­ком про­цен­ты по вкла­ду долж­ны на­чис­лять­ся 31 ок­тяб­ря каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года.

1 но­яб­ря 2019 года и 1 но­яб­ря 2020 года Ни­ко­лай пла­ни­ру­ет снять со счёта 100 тысяч и 50 тысяч руб­лей со­от­вет­ствен­но.

1 но­яб­ря 2021 года Ни­ко­лай со­би­ра­ет­ся за­крыть счёт в банке и за­брать все при­чи­та­ю­щи­е­ся ему день­ги.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром доход Ни­ко­лая от вло­же­ний в банк за эти 4 года ока­жет­ся более 70 тысяч руб­лей.

1 июня пла­ни­ру­ет­ся в банке взять в кре­дит не­ко­то­рую сумму денег на срок 12 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% (r  — целое число) по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга так, чтобы на на­ча­ло каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца долг умень­шал­ся на одну и ту же сумму по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем.

Най­ди­те наи­мень­шую воз­мож­ную став­ку r, если из­вест­но, что за вто­рую по­ло­ви­ну года было вы­пла­че­но более, чем на 30% мень­ше, не­же­ли за первую по­ло­ви­ну.

Петр Ива­но­вич взял кре­дит на не­сколь­ко лет и вы­пла­тил его рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми по 200000 руб. При этом в на­ча­ле каж­до­го года сумма те­ку­ще­го долга уве­ли­чи­ва­лась на 10%, а в конце года про­из­во­дил­ся платёж. Если бы Петр Ива­но­вич не делал пла­те­жей, то за это время вслед­ствие на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма кре­ди­та со­ста­ви­ла бы 928 200 руб. На сколь­ко лет был взят кре­дит?

Спон­сор вы­де­лил школе 50 тысяч руб­лей на по­куп­ку мячей. Из­вест­но, что фут­боль­ный мяч стоит 700 руб­лей, бас­кет­боль­ный  — 600 руб­лей, во­лей­боль­ный  — 500 руб­лей. Не­об­хо­ди­мо при­об­ре­сти мячи всех трёх видов, причём их ко­ли­че­ства не долж­ны от­ли­чать­ся более, чем на 10 штук. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство мячей смо­жет при­об­ре­сти школа, не при­вы­сив на их по­куп­ку вы­де­лен­ной суммы?

Сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 2% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Ана­ло­гич­но, цена на кир­пич воз­рас­та­ла на 36% еже­ме­сяч­но. От­сро­чив по­куп­ку кир­пи­ча, 1 мая в банк по­ло­жи­ли не­ко­то­рую сумму. На сколь­ко про­цен­тов мень­ше в этом слу­чае можно ку­пить кир­пи­ча на 1 июля того же года на всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми?

Ме­бель­ная фаб­ри­ка про­из­во­дит книж­ные шкафы и сер­ван­ты. На из­го­тов­ле­ние од­но­го книж­но­го шкафа рас­хо­ду­ет­ся 4/3 м² дре­вес­но‐стру­жеч­ной плиты, 4/3 м² сос­но­вой доски и 2/3 че­ло­ве­ко‐часа ра­бо­че­го вре­ме­ни. На из­го­тов­ле­ние од­но­го сер­ван­та рас­хо­ду­ет­ся 2 м² дре­вес­но‐стру­жеч­ной плиты, 1,5 м2 сос­но­вой доски и 2 че­ло­ве­ко‐часа ра­бо­че­го вре­ме­ни. При­быль от ре­а­ли­за­ции од­но­го книж­но­го шкафа со­став­ля­ет 500 руб., а сер­ван­та  — 1200 руб. В те­че­ние од­но­го ме­ся­ца в рас­по­ря­же­нии фаб­ри­ки име­ют­ся: 180 м² дре­вес­но‐стру­жеч­ной плиты, 165 м² сос­но­вых досок и 160 че­ло­ве­ко‐часов ра­бо­че­го вре­ме­ни. Ка­ко­ва мак­си­маль­но ожи­да­е­мая ме­сяч­ная при­быль?

В на­ча­ле ра­бо­че­го дня на не­ко­то­ром пред­при­я­тии был под­клю­чен ге­не­ра­тор A, мощ­ность ко­то­ро­го за­ви­се­ла от вре­ме­ни ра­бо­ты кВт. Когда мощ­ность упала в два раза, ге­не­ра­тор за­ме­ни­ли на более со­вер­шен­ный ге­не­ра­тор B, мощ­ность ко­то­ро­го также за­ви­се­ла от вре­ме­ни ра­бо­ты кВт. Сколь­ко всего энер­гии (кДж) вы­ра­бо­та­ли ге­не­ра­то­ры в те­че­ние вось­ми­ча­со­во­го ра­бо­че­го дня?

Бро­кер­ская фирма вы­ста­ви­ла на торги пакет акций, со­сто­я­щий из акций двух ком­па­ний: неф­тя­ной ком­па­нии (по 100 дол­ла­ров за акцию) и га­зо­вой ком­па­нии (по 65 дол­ла­ров 60 цен­тов за акцию). Всего было вы­став­ле­но 200 акций. Все акции га­зо­вой ком­па­нии были про­да­ны, а часть акций неф­тя­ной ком­па­нии оста­лась не­про­дан­ной. Общая сумма вы­руч­ки ока­за­лась рав­ной 13120 дол­ла­ров. Опре­де­ли­те про­цент акций га­зо­вой ком­па­нии в вы­став­лен­ном на про­да­жу па­ке­те и най­ди­те сумму вы­руч­ки, по­лу­чен­ной за акции га­зо­вой ком­па­нии.

1 июля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тыс. руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число ме­ся­цев). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать часть долга.

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше, чем долг на 1 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко ме­ся­цев был взят кре­дит, если из­вест­но, что сумма вы­плат за пер­вый год ока­за­лась на 144 тыс. руб­лей боль­ше, чем сумма вы­плат за вто­рой год? Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

В ян­ва­ре 2014 года Ари­старх Луков‐Ар­ба­ле­тов взял в кре­дит 1 млн. руб­лей под 12% го­до­вых на че­ты­ре года. Часть денег Ари­старх за­ко­пал в ого­ро­де, чтобы еже­год­но га­сить про­цен­ты по кре­ди­ту. На остав­ши­е­ся день­ги Ари­старх купил дол­ла­ры США по курсу 33 рубля за один дол­лар, а на по­ло­ви­ну этих дол­ла­ров  — бит­ко­и­ны (BTC) по курсу 750 дол­ла­ров за 1 BTC. 1 ян­ва­ря 2018 года Ари­старх про­дал бит­ко­и­ны по цене 13800 дол­ла­ров США за один BTC и дол­ла­ры по курсу 69 руб­лей за один дол­лар. Най­ди­те доход, по­лу­чен­ный Ари­стар­хом, округ­лив его до це­ло­го числа млн. руб­лей.

Пред­при­я­тие про­из­во­дит хо­ло­диль­ни­ки и яв­ля­ет­ся при­быль­ным. Из­вест­но, что при из­го­тов­ле­нии n хо­ло­диль­ни­ков в месяц рас­хо­ды на вы­пуск од­но­го хо­ло­диль­ни­ка со­став­ля­ют не менее тыс. руб., а цена ре­а­ли­за­ции каж­до­го хо­ло­диль­ни­ка при этом не пре­вос­хо­дит тыс. руб. Опре­де­лить еже­ме­сяч­ный объем про­из­вод­ства, при ко­то­ром может быть по­лу­че­на наи­боль­шая при дан­ных усло­ви­ях еже­ме­сяч­ная при­быль.

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он был дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в банке?

1 июля граж­дан­ка взяла в кре­дит S млн. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Опре­де­ли­те: а) раз­мер кре­ди­та; б) через сколь­ко ме­ся­цев он был пол­но­стью по­га­шен, если из­вест­но, что за все время кре­ди­то­ва­ния было вы­пла­че­но 4,16 млн. руб­лей.

В пче­ли­ной семье, зи­му­ю­щей в по­ме­ще­нии, в день по­след­ней ве­сен­ней под­корм­ки было 9 тысяч пчел. К концу k‐го дня ( k  =  1,2,3... ) после дня под­корм­ки чис­лен­ность пче­ли­ной семьи, зи­му­ю­щей в по­ме­ще­нии, ста­но­вит­ся рав­ной тысяч пчел. Далее, при пе­ре­воз­ке пчел на лет­нюю сто­ян­ку, чис­лен­ность пче­ли­ной семьи в каж­дый по­сле­ду­ю­щий день воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. В конце ка­ко­го дня после ве­сен­ней под­корм­ки нужно пе­ре­вез­ти пчел на лет­нюю сто­ян­ку, чтобы через 38 дней после под­корм­ки чис­лен­ность пче­ли­ной семьи стала наи­боль­шей? Из­вест­но, что у фер­ме­ра нет воз­мож­но­сти по­ме­стить пчел на лет­нюю сто­ян­ку сразу же после под­корм­ки.

Рус­лан вло­жил 1 млн. в банк под 14% го­до­вых (на­чис­ле­ние в конце года на общую сумму). При этом каж­дый месяц он сни­ма­ет по Х тыс. руб­лей на про­жи­ва­ние (на­чи­ная со 2 года) в те­че­ние 4 лет, и в конце 5 года после на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма ока­за­лась не менее 1 млн. Опре­де­ли­те какую мак­си­маль­ную сумму он мог сни­мать еже­ме­сяч­но. В от­ве­те ука­жи­те це­ло­чис­лен­ное зна­че­ние в ты­ся­чах руб­лей?

Име­ет­ся три па­ке­та акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тысяч руб­лей до 20 тысяч руб­лей, а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тысяч руб­лей и не боль­ше 60 тысяч руб­лей. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Уче­ни­ки вто­ро­го, тре­тье­го чет­вер­то­го клас­сов со­би­ра­ли ма­ку­ла­ту­ру. Каж­дый вто­ро­класс­ник ра­бо­тал по 3 дня, тре­тье­класс­ник  — по 12 дней, чет­ве­ро­класс­ник  — по 16 дней. При этом каж­дый вто­ро­класс­ник со­брал 30 кг ма­ку­ла­ту­ры, каж­дый тре­тье­класс­ник  — 130 кг, а каж­дый чет­ве­ро­класс­ник  — 170 кг. Все дети вме­сте от­ра­бо­та­ли 95 дней. Сколь­ко уче­ни­ков каж­до­го клас­са участ­во­ва­ло в ра­бо­те, если общее ко­ли­че­ство ма­ку­ла­ту­ры ока­за­лось мак­си­маль­ным?

Оли­гарх Ари­старх Луков‐Ар­ба­ле­тов имеет в соб­ствен­но­сти три част­ных банка. Ак­ти­вы пер­во­го банка со­сто­ят на 70% из руб­лей и на 30% из дол­ла­ров. Во вто­ром банке 80% ак­ти­вов со­став­ля­ют рубли и 20%  — евро; в тре­тьем банке 50% ак­ти­вов в руб­лях, 10%  — в дол­ла­рах и 40%  — в евро. Ари­старх пла­ни­ру­ет от­крыть 4‐й банк, на­пра­вив туда часть ак­ти­вов из каж­до­го банка так, чтобы доля каж­дой ва­лю­ты в каж­дом из них со­хра­ни­лась, а ак­ти­вы но­во­го банка со­сто­я­ли бы ровно на 15% в дол­ла­рах. Какой наи­мень­ший про­цент руб­лей могут со­дер­жать ак­ти­вы но­во­го банка?

На счет, ко­то­рый вклад­чик имел в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла, на­чис­ля­ет­ся в конце этого квар­та­ла r₁%, а на счет, ко­то­рый вклад­чик имел в на­ча­ле вто­ро­го квар­та­ла, на­чис­ля­ет­ся в конце этого квар­та­ла r₂%, при­чем r₁% + r₂%  =  150%. Вклад­чик по­ло­жил на счет в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла не­ко­то­рую сумму и снял в конце того же квар­та­ла по­ло­ви­ну этой суммы. При каком зна­че­нии r₁ счет вклад­чи­ка в конце вто­ро­го квар­та­ла ока­жет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ным?

Два банка на­чис­ля­ют про­цен­ты по вкла­дам (свои в каж­дом банке). При­чем пер­вый из них на­чис­ля­ет про­цен­ты еже­квар­таль­но на всю ле­жа­щую на счете сумму, вто­рой  — на­чис­ля­ет про­цен­ты по вкла­ду в конце года. Если кли­ент по­ло­жит на два года чет­верть име­ю­щей­ся у него суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть  — во вто­рой, то его при­бы­ли со­ста­вит 40,08% от пер­во­на­чаль­ной суммы. Если же на­о­бо­рот три чет­вер­ти ис­ход­ной суммы  — в пер­вый, а остав­шу­ю­ся часть  — во вто­рой, то через два года при­быль со­ста­вит 70%. Ка­ко­ва будет его при­быль в про­цен­тах от пер­во­на­чаль­ной суммы, если он по­ло­жит все день­ги на один год в пер­вый банк?

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 4 млн руб­лей на срок 10 лет.

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Най­ди­те r% , если из­вест­но, что наи­боль­ший го­до­вой платёж по кре­ди­ту со­ста­вит не более 1,16 млн руб­лей, а наи­мень­ший  — не менее 0,476 млн руб­лей.

Иван Ива­но­вич по­про­сил у сво­е­го со­се­да Ивана Ни­ки­фо­ро­ви­ча взай­мы на не­сколь­ко дней 648 тысяч руб­лей, по­обе­щав вер­нуть долг с про­цен­та­ми. Иван Ни­ки­фо­ро­вич за­явил, что если он даст в долг на п дней S руб­лей, то сосед дол­жен будет вер­нуть сумму, рав­ную После не­дол­гих раз­ду­мий Иван Ива­но­вич со­гла­сил­ся на пред­ло­жен­ные усло­вия. Через сколь­ко дней Ивану Ива­но­ви­чу сле­ду­ет рас­счи­тать­ся с дол­гом, чтобы вы­пла­ты ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко в этом слу­чае со­ста­вит пе­ре­пла­та сверх взя­той в долг суммы?

В 2016 году в НИИ «На­но­мир» ра­бо­та­ли 20 со­труд­ни­ков: ди­рек­тор, пять его за­ме­сти­те­лей, 12 ин­же­не­ров и две убор­щи­цы. Сред­не­ме­сяч­ная зар­пла­та ди­рек­то­ра со­став­ля­ла 500 тыс. руб., зама  — 200 тыс. руб., ин­же­не­ра 50 тыс. руб., убор­щи­цы  — 25 тыс. руб.

С 1 ян­ва­ря 2017 года 4 ин­же­не­ра ушли на за­слу­жен­ный отдых. Чтобы со­хра­нить сред­нюю зар­пла­ту по НИИ на уров­не про­шло­го года, ди­рек­тор решил из­ме­нить зар­пла­ту толь­ко у своих замов.

В конце 2017 года не­ожи­дан­но вы­яс­ни­лось, что го­до­вой фонд за­ра­бот­ной платы НИИ, сфор­ми­ро­ван­ный в объ­е­ме про­шло­го года, ока­зал­ся вы­бран не пол­но­стью. В связи с этим все остав­ши­е­ся на счету фонда день­ги ди­рек­тор пе­ре­чис­лил себе в ка­че­стве пре­мии.

Опре­де­ли­те:

а)  сред­нюю зар­пла­ту по НИИ в 2017 году;

б)  на сколь­ко % из­ме­ни­лась (уве­ли­чи­лась или умень­ши­лась) зар­пла­та за­ме­сти­те­лей ди­рек­то­ра НИИ в 2017 году;

в)  раз­мер пре­мии, по­лу­чен­ной ди­рек­то­ром НИИ в конце 2017 года.

1 мая 2017 г. Та­тья­на Кон­стан­ти­нов­на по­ло­жи­ла 10 000 000 руб­лей в банк сро­ком на 1 год с еже­ме­сяч­ным на­чис­ле­ни­ем про­цен­тов и ка­пи­та­ли­за­ци­ей под а% го­до­вых. Это озна­ча­ет, что пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов, рас­счи­тан­ное таким об­ра­зом, что за 12 ме­ся­цев она уве­ли­чит­ся ровно на а%. Най­ди­те а, если из­вест­но, что через 6 ме­ся­цев сумма вкла­да Та­тья­ны Кон­стан­ти­нов­ны со­ста­ви­ла 10 400 000 руб­лей.

1 июня пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 6 млн руб­лей на срок 12 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% (r  — целое число) по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга так, чтобы на на­ча­ло каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца долг умень­шал­ся на одну и ту же сумму по срав­не­нию с преды­ду­щим ме­ся­цем.

Най­ди­те наи­мень­шую воз­мож­ную став­ку r, если из­вест­но, что в де­каб­ре банку будет вы­пла­че­но более, чем на 100 тыс. руб. боль­ше, не­же­ли в марте.

Фонд «Божий Дар» вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят t² млн руб­лей в конце года В конце лю­бо­го года фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги в банк «Пятёрочка» под 20% го­до­вых. В конце ка­ко­го года фонд дол­жен про­дать цен­ные бу­ма­ги, чтобы через 15 лет сумма на его счету была наи­боль­шей? Сколь­ко руб­лей со­ста­вит эта сумма?

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей (S  — на­ту­раль­ное число) сро­ком на 3 года. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 22,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — в июне каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле каж­до­го года ве­ли­чи­на долга за­да­ет­ся таб­ли­цей

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

Алек­сей решил взять кре­дит в банке 100 тысяч руб­лей на 4 ме­ся­ца под 5% в месяц. Су­ще­ству­ют две схемы вы­пла­ты кре­ди­та. По пер­вой схеме банк в конце каж­до­го ме­ся­ца на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк фик­си­ро­ван­ную сумму и в ре­зуль­та­те вы­пла­чи­ва­ет весь долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми. По вто­рой схеме тоже сумма долга в конце каж­до­го ме­ся­ца уве­ли­чи­ва­ет­ся на 5%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Алек­се­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Какую схему вы­год­нее вы­брать Алек­сею? Сколь­ко руб­лей будет со­став­лять эта вы­го­да?

Фирма имеет воз­мож­ность ре­кла­ми­ро­вать свою про­дук­цию, ис­поль­зуя мест­ные радио  — и те­ле­ви­зи­он­ную сети. За­тра­ты на ре­кла­му в бюд­же­те фирмы огра­ни­че­ны ве­ли­чи­ной 1000$ в месяц. Каж­дая ми­ну­та ра­дио­ре­кла­мы об­хо­дит­ся в 5$, а каж­дая ми­ну­та те­ле­ре­кла­мы  — в 100$. Фирма хо­те­ла бы ис­поль­зо­вать ра­дио­сеть, по край­ней мере, в два раза чаще, чем сеть те­ле­ви­де­ния, но при этом фирма ре­ши­ла, что время ра­дио­ре­кла­мы не долж­но пре­вы­шать двух часов. Опыт про­шлых лет по­ка­зал, что объем сбыта, ко­то­рый обес­пе­чи­ва­ет каж­дая ми­ну­та те­ле­ре­кла­мы, в 25 раз боль­ше сбыта, обес­пе­чи­ва­е­мо­го одной ми­ну­той ра­дио­ре­кла­мы. Опре­де­ли­те оп­ти­маль­ное рас­пре­де­ле­ние фи­нан­со­вых средств, еже­ме­сяч­но от­пус­ка­е­мых на ре­кла­му, между радио- и те­ле­ре­кла­мой, если время можно по­ку­пать толь­ко по­ми­нут­но.

15‐го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца

  — со 2‐го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Какую сумму сле­ду­ет взять в кре­дит, чтобы общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния рав­ня­лась 1 млн руб­лей?

Ок­са­на по­ло­жи­ла не­ко­то­рую сумму на счет в банке на пол­го­да. По этому вкла­ду уста­нов­лен «пла­ва­ю­щий» про­цент, то есть число на­чис­лен­ных про­цен­тов за­ви­сит от числа пол­ных ме­ся­цев, ко­то­рые вклад про­ле­жал на счете.

В таб­ли­це ука­за­ны усло­вия на­чис­ле­ния про­цен­тов.

На­чис­лен­ные про­цен­ты до­бав­ля­ют­ся к сумме вкла­да. В конце каж­до­го ме­ся­ца, за ис­клю­че­ни­ем по­след­не­го Ок­са­на после на­чис­ле­ния про­цен­тов до­бав­ля­ет такую сумму, чтобы вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся на 5% от пер­во­на­чаль­но­го. Какой про­цент от суммы пер­во­на­чаль­но­го вкла­да со­став­ля­ет сумма, на­чис­лен­ная бан­ком в ка­че­стве про­цен­тов?

Пред­при­ни­ма­тель купил зда­ние и со­би­ра­ет­ся от­крыть в нем отель. В отеле могут быть стан­дарт­ные но­ме­ра пло­ща­дью 27 квад­рат­ных мет­ров и но­ме­ра «люкс» пло­ща­дью 45 квад­рат­ных мет­ров. Общая пло­щадь, ко­то­рую можно от­ве­сти под но­ме­ра, со­став­ля­ет 981 квад­рат­ный метр. Пред­при­ни­ма­тель может по­де­лить эту пло­щадь между но­ме­ра­ми раз­лич­ных типов, как хочет. Обыч­ный номер будет при­но­сить отелю 2000 руб­лей в сутки, а номер «люкс»  — 4000 руб­лей в сутки. Какую наи­боль­шую сумму денег смо­жет за­ра­бо­тать на своем отеле пред­при­ни­ма­тель?

В на­ча­ле 2001 года Алек­сей при­об­рел цен­ную бу­ма­гу за 7000 руб­лей. В конце каж­до­го года цена бу­ма­ги воз­рас­та­ет на 2000 руб­лей. В на­ча­ле лю­бо­го года Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счет. Каж­дый год сумма на счет будет уве­ли­чи­вать­ся на 10%. В на­ча­ле ка­ко­го года Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через пят­на­дцать лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счете была наи­боль­шей?

В пря­нич­ный цех по­сту­пил заказ на из­го­тов­ле­ние пар­тии су­ве­нир­ных пря­ни­ков трех видов: с клуб­нич­ной на­чин­кой, с виш­не­вой и с шо­ко­лад­ной. Цена пря­ни­ков с клуб­нич­ной и виш­не­вой на­чин­кой оди­на­ко­ва, пер­вых за­ка­за­ли на сумму 4000 руб., вто­рых  — 60 штук. Пря­ни­ки с шо­ко­лад­ной на­чин­кой стоят 150 руб. за штуку, их за­ка­за­ли столь­ко же, сколь­ко пря­ни­ков с виш­не­вой и клуб­нич­ной на­чин­ка­ми вме­сте. Ка­ко­ва наи­мень­шая сто­и­мость всего за­ка­за? При какой цене на пря­ни­ки с фрук­то­вой на­чин­кой она до­сти­га­ет­ся?

На каж­дом из двух ком­би­на­тов ра­бо­та­ет по 1800 че­ло­век. На пер­вом ком­би­на­те один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 1 де­таль А или 2 де­та­ли В. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко‐смен.

Оба эти ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на ком­би­нат, из ко­то­рых со­би­ра­ют из­де­лие, для из­го­тов­ле­ния ко­то­ро­го нужна или 1 де­таль А, или 1 де­таль В. При этом ком­би­на­ты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать ком­би­нат за смену?

Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам № 1 и № 2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра № 1 при объ­е­ме t² Гб вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t Гб, а с сер­ве­ра № 2 при объ­е­ме t² Гб вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 21t Гб об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции Каков наи­боль­ший общий объем вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объ­е­ме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гб?

В июле 2019 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 6 лет в раз­ме­ре 880 000 руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с дол­гом на конец преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь еже­год­но не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить по 250 000 руб­лей;

  — в 2024 и 2025 годах до­пол­ни­тель­но про­из­во­дят­ся вы­пла­ты по S руб­лей;

  — к июлю 2025 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те S.

Про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го цеха за­во­да не более 730 про­из­ведённых те­ле­ви­зо­ров в сутки. Про­из­во­ди­тель­ность вто­ро­го цеха за­во­да до ре­кон­струк­ции со­став­ля­ла 75% от про­из­во­ди­тель­но­сти пер­во­го цеха. После ре­кон­струк­ции вто­рой цех уве­ли­чил про­из­во­ди­тель­ность на 20% и стал вы­пус­кать более 640 те­ле­ви­зо­ров в сутки. Най­ди­те, сколь­ко те­ле­ви­зо­ров в сутки вы­пус­ка­ет вто­рой цех после ре­кон­струк­ции, если оба цеха вы­пус­ка­ют в сутки целое число те­ле­ви­зо­ров.

Цех сбор­ки может вы­пус­кать 50 мо­то­цик­лов и 150 ску­те­ров в день. Отдел тех­ни­че­ско­го кон­тро­ля в день может про­ве­рить не более 75 из­де­лий. Мо­то­цикл в пол­то­ра раза до­ро­же ску­те­ра. Сколь­ко мо­то­цик­лов и сколь­ко ску­те­ров нужно вы­пус­кать в сутки, чтобы общая сто­и­мость про­дук­ции была наи­боль­шей и все из­де­лия были про­ве­ре­ны от­де­лом тех­ни­че­ско­го кон­тро­ля.

В офис­ном зда­нии 8 эта­жей, на каж­дом из ко­то­рых, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ка­би­нет на­чаль­ни­ка от­де­ла. Управ­ля­ю­щая жи­лищ­ная ком­па­ния объ­яви­ла что в день про­фи­лак­ти­че­ско­го ре­мон­та лифта он сде­ла­ет всего один подъ­ем сразу всех на­чаль­ни­ков на один, ука­зан­ный ими этаж. После подъ­ема на­чаль­ни­ки будут вы­нуж­де­ны идти в свои ка­би­не­ты по лест­ни­це. В ка­че­стве ком­пен­са­ции за при­чи­нен­ные не­удоб­ства за каж­дый не­об­хо­ди­мый подъ­ем на оче­ред­ной этаж по лест­ни­це каж­до­му на­чаль­ни­ку будет на­чис­ле­но 200 руб­лей. За каж­дый ана­ло­гич­ный спуск  — 100 руб­лей. Этаж не­об­хо­ди­мо вы­брать так, чтобы общая сумма ком­пен­са­ций была ми­ни­маль­ной. Ука­жи­те в руб­лях эту сумму.

Кон­ди­тер­ский цех на одном и том же обо­ру­до­ва­нии про­из­во­дит пе­че­нье двух видов. Ис­поль­зуя всё обо­ру­до­ва­ние, за день можно про­из­ве­сти 60 цент­не­ров пе­че­нья пер­во­го вида или 85 цент­не­ров пе­че­нья вто­ро­го вида. Се­бе­сто­и­мость пе­че­нья пер­во­го вида равна 10000 руб­лей, от­пуск­ная цена  — 15000 руб­лей, для пе­че­нья вто­ро­го вида се­бе­сто­и­мость равна 12000, а от­пуск­ная цена  — 18000 руб­лей. Най­ди­те, какую наи­боль­шую при­быль в руб­лях может по­лу­чить цех за день при усло­вии, что будет ис­поль­зо­вать­ся все обо­ру­до­ва­ние, будет про­да­но все про­из­ве­ден­ное пе­че­нье и по до­го­во­ру с за­каз­чи­ком долж­но про­из­во­дить­ся в день не менее 6 цент­не­ров пе­че­нья каж­до­го вида.

Фирма пла­ни­ру­ет взять в ян­ва­ре кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на че­ты­ре года на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях:

  — в июле каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг фирмы воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

  — в конце 1‐го и 3‐го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год;

  — в конце 2‐го и 4‐го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу 4‐го года долг пол­но­стью.

Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат фир­мой пре­вы­сит 100 млн руб­лей.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 9 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 4% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Из­вест­но, что в пятый месяц кре­ди­то­ва­ния нужно вы­пла­тить 44 тыс. руб­лей. Какую сумму нужно вер­нуть банку в те­че­ние всего срока кре­ди­то­ва­ния?

В июле 2019 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 1 000 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг дол­жен быть на 100 000 руб­лей мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  — в осталь­ные годы не­об­хо­ди­мо чтобы долг умень­шал­ся на суммы, от­ли­ча­ю­щи­е­ся друг от друга на 50 000 руб­лей (в 2021 самое круп­ное умень­ше­ние, в 2023  — на 50 000 руб­лей мень­ше и т. д.)

  — в июле 2027 года сумма долга долж­на рав­нять­ся нулю.

Какую сумму не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить банку в те­че­ние всего срока кре­ди­то­ва­ния?

Из пунк­та А, рас­по­ло­жен­но­го на бе­ре­гу реки, вниз по те­че­нию от­пра­ви­лись две мо­тор­ные лодки. Ско­рость те­че­ния реки 2 км/ч, соб­ствен­ная ско­рость «быст­рой» лодки на 3 км/ч боль­ше ско­ро­сти «мед­лен­ной» лодки. Через не­ко­то­рое время они по­вер­ну­ли об­рат­но, и «быст­рая» лодка при­ш­ла в пункт А рань­ше, чем «мед­лен­ная» на время не мень­шее вре­ме­ни, ко­то­рое лодки шли от на­ча­ла дви­же­ния до по­во­ро­та. Най­ди­те наи­боль­шее целое зна­че­ние ско­ро­сти «быст­рой» лодки (в км/ч), если соб­ствен­ные ско­ро­сти лодок боль­ше ско­ро­сти те­че­ния.

Школь­ник купил тет­ра­ди трех типов: в клет­ку, в ли­ней­ку и в тре­уголь­ник. Цена тет­ра­дей в клет­ку и в ли­ней­ку оди­на­ко­ва и вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом руб­лей, тет­ра­ди в тре­уголь­ник про­да­ют­ся по 50 руб­лей за штуку. Тет­ра­дей в клет­ку было куп­ле­но 12 штук, в ли­ней­ку  — на 150 руб­лей, а в тре­уголь­ник  — столь­ко же, сколь­ко тет­ра­дей в ли­ней­ку. Ка­ко­ва наи­мень­шая сумма, ко­то­рую школь­ник мог за­пла­тить за тет­ра­ди?

Вновь со­здан­ное ак­ци­о­нер­ное об­ще­ство про­да­ло на­се­ле­нию 1000 своих акций, уста­но­вив скид­ку 10% на каж­дую пятую про­да­ва­е­мую акцию и 25% на каж­дую три­на­дца­тую про­да­ва­е­мую акцию. В слу­чае, если на одну акцию вы­па­да­ют обе скид­ки, то при­ме­ня­ет­ся боль­шая из них. Опре­де­ли­те сумму, вы­ру­чен­ную от про­да­жи всех акций, если цена акции со­став­ля­ет 1000 руб­лей.

Тема сде­лал не­сколь­ко мел­ких по­ку­пок в су­пер­мар­ке­те, имея при себе сто руб­лей. Давая сдачу с этой суммы, кас­сир ошиб­лась, пе­ре­пу­тав ме­ста­ми цифры, и вы­пла­ти­ла руб­ля­ми то, что долж­на была вер­нуть ко­пей­ка­ми, и, на­о­бо­рот, ко­пей­ка­ми то, что долж­на была вер­нуть руб­ля­ми. Купив в ап­те­ке набор пи­пе­ток за 1 руб. 40 коп., Тема об­на­ру­жил ошиб­ку кас­си­ра и, пе­ре­счи­тав день­ги, нашел, что остав­ша­я­ся у него сумма втрое пре­вы­ша­ет ту, ко­то­рую ему долж­ны были вер­нуть в су­пер­мар­ке­те. Ка­ко­ва сто­и­мость всех по­ку­пок Темы?

Пер­вая и вто­рая бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить за­да­ние не более, чем за 9 дней. Вто­рая и тре­тья бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить то же за­да­ние не менее, чем за 18 дней. Пер­вая и тре­тья бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить то же за­да­ние ровно за 12 дней. Из­вест­но, что тре­тья бри­га­да все­гда ра­бо­та­ет с мак­си­маль­но воз­мож­ной для нее про­из­во­ди­тель­но­стью труда. За сколь­ко дней может вы­пол­нить за­да­ние одна вто­рая бри­га­да?

Бри­га­да ра­бо­чих вы­пол­ня­ет за­да­ние за 42 дня. Если бы в бри­га­де было на 4 че­ло­ве­ка боль­ше и каж­дый ра­бо­чий бри­га­ды ра­бо­тал бы на 1 час в день доль­ше, то это же за­да­ние было бы вы­пол­не­но не более чем за 30 дней. При уве­ли­че­нии бри­га­ды еще на 6 че­ло­век и ра­бо­че­го дня еще на 1 час все за­да­ние было бы за­кон­че­но не ранее чем через 21 день. Опре­де­ли­те наи­мень­шую при дан­ных усло­ви­ях чис­лен­ность бри­га­ды, а также про­дол­жи­тель­ность ра­бо­че­го дня.

Два оди­на­ко­вых поля тре­бу­ет­ся вспа­хать тремя трак­то­ра­ми. При ра­бо­те в оди­ноч­ку пер­вый трак­тор вспа­шет одно поле втрое быст­рее, чем вто­рой, а тре­тье­му на ту же ра­бо­ту по­тре­бу­ет­ся вре­ме­ни на два часа боль­ше, чем пер­во­му. Ра­бо­тая вме­сте, все три трак­то­ра могут вспа­хать одно поле за семь часов две­на­дцать минут. Найти наи­мень­шее время, за ко­то­рое можно вспа­хать оба поля при усло­вии, что все трак­то­ры на­чи­на­ют ра­бо­ту од­но­вре­мен­но, а для пе­ре­ез­да с од­но­го поля дру­гое трак­то­ру тре­бу­ет­ся сорок минут.

Пред­при­ни­ма­тель Ашот хочет от­крыть в своём го­ро­де не­сколь­ко кафе. Он под­счи­тал, что жи­те­ли го­ро­да тра­тят 50 млн. руб­лей в год на пи­та­ние в кафе, причём эта сумма де­лит­ся по­ров­ну между всеми кафе, ра­бо­та­ю­щи­ми в го­ро­де. Из­вест­но, что функ­ци­о­ни­ро­ва­ние од­но­го кафе об­хо­дит­ся в 2 млн. руб­лей в год. Какую наи­боль­шую при­быль (в млн. руб­лей в год) может по­лу­чить Ашот, если в го­ро­де уже ра­бо­та­ет 9 кафе, от­кры­тых дру­ги­ми пред­при­ни­ма­те­ля­ми?

На счет, ко­то­рый вклад­чик имел в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла, на­чис­ля­ет­ся в конце этого квар­та­ла про­цен­тов, а на тот счет, ко­то­рый вклад­чик имел в конце вто­ро­го квар­та­ла, на­чис­ля­ет­ся в конце этого квар­та­ла про­цен­тов, при­чем Вклад­чик по­ло­жил на счет в на­ча­ле пер­во­го квар­та­ла не­ко­то­рую сумму и снял в конце того же квар­та­ла по­ло­ви­ну этой суммы. При каком зна­че­нии счет вклад­чи­ка в конце вто­ро­го квар­та­ла ока­жет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ным?

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 12 млн руб­лей на 15 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — пока долг боль­ше по­ло­ви­ны ис­ход­ной суммы, каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на 12% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — если долг мень­ше по­ло­ви­ны ис­ход­ной суммы, то каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на 4% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Какую сумму нужно вер­нуть банку?

На по­куп­ку тет­ра­дей в клет­ку и в ли­ней­ку можно по­тра­тить не более 140 руб. Тет­радь в клет­ку стоит 3 руб., тет­радь в ли­ней­ку  — 2 руб. При за­куп­ке число тет­ра­дей в клет­ку не долж­но от­ли­чать­ся от числа тет­ра­дей в ли­ней­ку более, чем на 9. Не­об­хо­ди­мо за­ку­пить мак­си­маль­но воз­мож­ное сум­мар­ное ко­ли­че­ство тет­ра­дей, при этом тет­ра­дей в ли­ней­ку нужно за­ку­пить как можно мень­ше. Сколь­ко тет­ра­дей в клет­ку и сколь­ко тет­ра­дей в ли­ней­ку можно за­ку­пить при ука­зан­ных усло­ви­ях?

Малое пред­при­я­тие вы­пус­ка­ет из­де­лия двух типов. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия пер­во­го типа тре­бу­ет­ся 9 часов ра­бо­ты стан­ка А и 11 часов ра­бо­ты стан­ка Б. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия вто­ро­го типа тре­бу­ет­ся 13 часов ра­бо­ты стан­ка А и 3 часа ра­бо­ты стан­ка Б (стан­ки могут ра­бо­тать в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти). По тех­ни­че­ским при­чи­нам ста­нок А может ра­бо­тать не более 130 часов в месяц, а ста­нок Б  — не более 88 часов в месяц. Каж­дое из­де­лие пер­во­го типа при­но­сит пред­при­я­тию 22 000 д. е. при­бы­ли, а каж­дое из­де­лие вто­ро­го типа  — 26 000 д. е. при­бы­ли. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную еже­ме­сяч­ную при­быль пред­при­я­тия и опре­де­ли­те, сколь­ко из­де­лий пер­во­го типа и сколь­ко из­де­лий вто­ро­го типа сле­ду­ет вы­пус­кать для по­лу­че­ния этой при­бы­ли.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 тыс. руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с та­ки­ми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Пред­при­я­тие не­пре­рыв­но­го цикла за­ни­ма­ет­ся ис­пы­та­ни­ем го­то­вых из­де­лий двух типов. Еже­ме­сяч­но пред­при­я­тие по­лу­ча­ет для ис­пы­та­ний не более 300 из­де­лий пер­во­го типа и не более 600 из­де­лий вто­ро­го типа. Ка­че­ство каж­до­го из­де­лия про­ве­ря­ет­ся на двух стен­дах А и Б (стен­ды могут ис­поль­зо­вать­ся для ис­пы­та­ния каж­до­го из­де­лия в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти). Для про­вер­ки од­но­го из­де­лия пер­во­го типа тре­бу­ет­ся 36 минут ис­пы­та­ний на стен­де А и 30 минут ис­пы­та­ний на стен­де Б; для про­вер­ки од­но­го из­де­лия вто­ро­го типа тре­бу­ет­ся 30 минут ис­пы­та­ний на стен­де А и 9 минут ис­пы­та­ний на стен­де Б. По тех­ни­че­ским при­чи­нам стенд А может ра­бо­тать не более 360 часов в месяц, а стенд Б  — не более 180 часов в месяц. Про­вер­ка од­но­го из­де­лия пер­во­го типа при­но­сит пред­при­я­тию 135 д. е. при­бы­ли, а про­вер­ка од­но­го из­де­лия вто­ро­го типа  — 75 д. е. при­бы­ли. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную еже­ме­сяч­ную при­быль пред­при­я­тия и опре­де­ли­те, сколь­ко из­де­лий пер­во­го типа и сколь­ко из­де­лий вто­ро­го типа сле­ду­ет еже­ме­сяч­но про­ве­рять для по­лу­че­ния этой при­бы­ли.

В рас­по­ря­же­нии про­ра­ба име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 26 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на стро­и­тель­ство двух част­ных домов, на­хо­дя­щих­ся в раз­ных го­ро­дах. Если на стро­и­тель­стве пер­во­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет д. е. Если на стро­и­тель­стве вто­ро­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет д. е. До­пол­ни­тель­ные су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды (транс­порт, пи­та­ние и т. п.) об­хо­дят­ся в 4 д. е. в расчёте на од­но­го ра­бо­че­го при стро­и­тель­стве пер­во­го дома и в 3 д. е. при стро­и­тель­стве вто­ро­го дома. Как нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты ра­бо­чих бри­га­ды, чтобы все вы­пла­ты на их су­точ­ное со­дер­жа­ние (т. е. су­точ­ная зар­пла­та и су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды) ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко д. е. в сумме при таком рас­пре­де­ле­нии со­ста­вят все су­точ­ные за­тра­ты (на зар­пла­ту и на­клад­ные рас­хо­ды)?

Вклад­чик раз­ме­стил в банке 32 ты­ся­чи руб­лей. Не­сколь­ко лет он по­лу­чал то 5%, то 10% го­до­вых, а за по­след­ний год по­лу­чил 25% го­до­вых. При этом про­цен­ты на­чис­ля­лись в конце каж­до­го года и до­бав­ля­лись к сумме вкла­да. В ре­зуль­та­те его вклад стал равен 53361 рублю. Сколь­ко лет про­ле­жал вклад?

Фер­мер, за­ни­ма­ю­щий­ся про­из­вод­ством ягод, по­са­дил кусты кры­жов­ни­ка и смо­ро­ди­ны. Ко­ли­че­ство ку­стов кры­жов­ни­ка пре­вы­ша­ет ко­ли­че­ство ку­стов смо­ро­ди­ны менее чем на 4. Если число ку­стов смо­ро­ди­ны уве­ли­чить на 42, то оно пре­вы­сит число ку­стов кры­жов­ни­ка, но не более чем в 3 раза. Если число ку­стов смо­ро­ди­ны уве­ли­чить впя­те­ро и при­ба­вить удво­ен­ное число ку­стов кры­жов­ни­ка, то ре­зуль­тат не пре­вы­сит 126. Най­ди­те, сколь­ко ку­стов кры­жов­ни­ка и сколь­ко ку­стов смо­ро­ди­ны по­са­дил фер­мер.

Иван Ва­си­лье­вич по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 ап­ре­ля 2000 года счёт в банке, на ко­то­рый он еже­год­но вно­сит 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 10% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у Ивана Ва­си­лье­ви­ча ро­ди­лась дочь, и 1 ап­ре­ля 2006 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на ко­то­рый еже­год­но вно­сит по 2100 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 21% в год. В каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­лись, если день­ги со сче­тов не сни­ма­лись?

Два участ­ни­ка со­зда­ли об­ще­ство с огра­ни­чен­ной от­вет­ствен­но­стью, при этом каж­дый внёс опре­де­лен­ную сумму денег в устав­ный ка­пи­тал об­ще­ства. Через не­ко­то­рое время один из участ­ни­ков внёс до­пол­ни­тель­но в устав­ный ка­пи­тал 4 млн руб­лей, в ре­зуль­та­те его доля воз­рос­ла на 6%. А когда он внёс в устав­ный ка­пи­тал ещё 4 млн руб­лей, его доля воз­рос­ла ещё на 2%. Какую сумму ему нужно вне­сти, чтобы уве­ли­чить свою долю ещё на 3%?

В ян­ва­ре 2005 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Фан­та­зия» со­ста­ви­ла го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2006 года  — y% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что В ян­ва­ре 2005 года вклад­чик от­крыл де­по­зит­ный счёт в банке «Фан­та­зия», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2006 года, по про­ше­ствии года со дня от­кры­тия счёта, вклад­чик снял со счёта пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние x, при ко­то­ром сумма на счёте вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2007 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

1 июля 2019 кли­ент офор­мил ипо­те­ку в банке на 1 000 000 руб­лей сро­ком на 3 года. На­чи­ная с 1 ав­гу­ста 2019 года, кли­ент дол­жен воз­вра­щать банку еже­ме­сяч­но одну и ту же сумму. 15 июля 2019 года сумма долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%, 15 июля 2020 года  — на 20%, а 15 июля 2021 года  — на 30%. Най­ди­те сумму еже­ме­сяч­ной платы. Ответ округ­ли­те до 1 руб. в боль­шую сто­ро­ну.

Кли­ент офор­мил ипо­те­ку в банке на 1 000 000 руб­лей 1 июля 2019 года сро­ком на 5 лет. На­чи­ная с 1 ав­гу­ста 2019 года, он дол­жен вы­пла­чи­вать еже­ме­сяч­но одну и ту же сумму. 15 июля каж­до­го года ве­ли­чи­на долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%. Най­ди­те сумму еже­ме­сяч­ной вы­пла­ты в руб­лях. Ответ округ­ли­те до 1 рубля в боль­шую сто­ро­ну.

Сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца на 8% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Ана­ло­гич­но, цена на кир­пич убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. От­сро­чив по­куп­ку кир­пи­ча, 1 сен­тяб­ря в банк по­ло­жи­ли не­ко­то­рую сумму. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше в этом слу­чае можно было ку­пить кир­пи­ча 1 но­яб­ря того же года на всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми?

Алек­сандра взяла в банке кре­дит на 3 года, ко­то­рый ей пред­сто­ит по­га­сить тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го года банк на­чис­ля­ет 10% на остав­шу­ю­ся часть долга, после чего Алек­сандра в тот же день вно­сит оче­ред­ной пла­теж в банк. Как из­вест­но, часть та­ко­го пла­те­жа идет на по­га­ше­ние суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов, а вто­рая часть идет на умень­ше­ние ос­нов­но­го долга. Ока­за­лось, что наи­мень­шая из трех сумм, на­прав­лен­ных на по­га­ше­ние ос­нов­но­го долга, со­ста­ви­ла 2 мил­ли­о­на руб­лей. Опре­де­ли­те наи­мень­шую из трех сумм, на­прав­лен­ных на по­га­ше­ние про­цен­тов за поль­зо­ва­ние кре­ди­том.

20 фев­ра­ля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 600 тысяч руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2 по 19 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — 20 числа каж­до­го с 1 по n‐й месяц долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 20 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — за (n + 1)-й месяц долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Най­ди­те n, если банку будет вы­пла­че­но 691 тыс. руб., а долг на 20‐е число n‐го ме­ся­ца со­ста­вит 100 тыс. руб.

В ли­ней­ке 80286 про­цес­со­ров 4 пред­ста­ви­те­ля, раз­ли­ча­ю­щи­е­ся так­то­вой ча­сто­той в диа­па­зо­не от 6 до 12,5 МГц вклю­чи­тель­но. Для пер­вых трёх из них про­цент уве­ли­че­ния ча­сто­ты сле­ду­ю­ще­го про­цес­со­ра по от­но­ше­нию к ча­сто­те преды­ду­ще­го, равен про­цен­ту уве­ли­че­ния про­из­во­ди­тель­но­сти по от­но­ше­нию к про­из­во­ди­тель­но­сти преды­ду­ще­го. Для четвёртого про­цент при­ро­ста ча­сто­ты такой же, как про­цент при­ро­ста ча­сто­ты тре­тье­го по от­но­ше­нию ко вто­ро­му, од­на­ко про­цент при­ро­ста про­из­во­ди­тель­но­сти в 3,2 раза боль­ше. Мак­си­маль­ная про­из­во­ди­тель­ность боль­ше ми­ни­маль­ной в 3 раза.

Мама ха­ке­ра Zero ку­пи­ла ему на день рож­де­ния новый 80286 про­цес­сор. Если уве­ли­чить ча­сто­ту про­цес­со­ра, по­да­рен­но­го мамой Zero, на чет­верть, по­лу­чит­ся ча­сто­та тре­тье­го про­цес­со­ра в ли­ней­ке. Ка­ко­ва про­из­во­ди­тель­ность по­дар­ка, если про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го про­цес­со­ра в ли­ней­ке со­став­ля­ет 0,9 млн опе­ра­ций в се­кун­ду?

Алек­сан­дре и Все­во­ло­ду 1 сен­тяб­ря не­имо­вер­но по­вез­ло от­крыть в банке по вкла­ду на оди­на­ко­вые суммы и на один и тот же срок мень­ше года. У Алек­сан­дры пер­вые не­сколь­ко ме­ся­цев про­цент­ная став­ка со­ста­ви­ла 81,44% в месяц, а на остав­ший­ся срок  — 5% в месяц. У Все­во­ло­да на про­тя­же­нии всего срока став­ка со­ста­ви­ла 26% в месяц. Суммы на­коп­лен­ных про­цен­тов в конце каж­до­го ме­ся­ца до­бав­ля­лись к остат­ку на счете, при этом кли­ент мог снять день­ги толь­ко в конце срока. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев у Алек­сан­дры могла дей­ство­вать став­ка 81,44%, если к мо­мен­ту за­кры­тия вкла­дов суммы на сче­тах обоих ге­ро­ев ока­за­лись оди­на­ко­вы­ми?

19 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит не­ко­то­рую сумму на 16 ме­ся­цев. Усло­вия кре­ди­та та­ко­вы:

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2 по 18 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 19‐го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1‐й по 15‐й месяц долг дол­жен быть на 30 тысяч руб­лей мень­ше долга на 19‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 19‐му числу 16‐го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 19‐го числа 15‐го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 914 тыс. руб­лей?

Все­во­лод и Алек­сандра в один день от­кры­ли в банке по вкла­ду на сумму 1 млн руб. с воз­мож­но­стью ча­стич­но­го сня­тия средств. Вме­сто вы­пла­ты про­цен­тов в конце оче­ред­но­го ме­ся­ца банк уве­ли­чи­вал раз­мер вкла­да на не­ко­то­рую фик­си­ро­ван­ную сумму, но толь­ко в том слу­чае, если кли­ент в те­че­ние дан­но­го ме­ся­ца не сни­мал день­ги со счета. Кроме того, Все­во­лод попал под усло­вия бо­нус­ной акции, по­это­му его еже­ме­сяч­ная при­бав­ка ока­за­лась выше, чем у Алек­сан­дры. Когда вклад Все­во­ло­да до­стиг суммы 1,2 млн руб., он каж­дый месяц с марта по ав­густ 2019 года сни­мал со счета по 25 тыс. руб., а вклад Алек­сан­дры про­дол­жал еже­ме­сяч­но расти. В конце июля 2019 года суммы на вкла­дах ока­за­лись оди­на­ко­вы­ми, а спу­стя не­ко­то­рое время срав­ня­лись по­втор­но. Опре­де­ли­те раз­мер вкла­дов Все­во­ло­да и Алек­сан­дры, когда они срав­ня­лись по­втор­но, если после ав­гу­ста день­ги со сче­тов не сни­ма­лись.

Груп­па от­ды­ха­ю­щих в те­че­ние 2 часов 40 минут ка­та­лась на мо­тор­ной лодке по реке с по­сто­ян­ной (от­но­си­тель­но воды) ско­ро­стью по­пе­ре­мен­но то по те­че­нию, то про­тив: в каж­дую сто­ро­ну  — не мень­ше, чем по 1 часу. В итоге лодка про­шла путь в 40 км от­но­си­тель­но бе­ре­га и, от­ча­лив от при­ста­ни А, при­ча­ли­ла к при­ста­ни В на рас­сто­я­нии 10 км от А. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную в этих усло­ви­ях ско­рость те­че­ния реки.

Для за­пол­не­ния бас­сей­на ис­поль­зу­ют 2 на­со­са. Из­вест­но, что если вклю­чить пер­вый на 1 ч, а затем толь­ко вто­рой на 4 ч, бас­сейн будет за­пол­нен не мень­ше чем на чет­верть и не более чем на 40%. Если вклю­чить пер­вый на 3 ч, затем толь­ко вто­рой на 2 ч, бас­сейн будет на­пол­нен не мень­ше чем на 30% и не боль­ше чем на по­ло­ви­ну. На сколь­ко про­цен­тов мак­си­маль­но может на­пол­нить бас­сейн один пер­вый насос за 1 час?

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 000 руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с теми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Пер­вый ве­ло­си­пе­дист въез­жа­ет в парк рань­ше вто­ро­го и про­ез­жа­ет 5 км. После этого в парк въез­жа­ет вто­рой и едет со ско­ро­стью на 4 км/ч боль­ше, чем пер­вый. Через не­ко­то­рое время вто­рой ве­ло­си­пе­дист до­го­ня­ет пер­во­го. В тот же мо­мент они по­во­ра­чи­ва­ют об­рат­но и со ско­ро­стью 16 км/ч од­но­вре­мен­но вы­ез­жа­ют из парка, за­кан­чи­вая по­езд­ку. При какой ско­ро­сти пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста время его по­езд­ки по парку будет наи­мень­шим?

Хи­ми­че­ский ком­би­нат по­лу­чил заказ на из­го­тов­ле­ние эти­ло­во­го спир­та, со­ля­ной кис­ло­ты и ди­стил­ли­ро­ван­ной воды. Для го­то­вой про­дук­ции по­тре­бо­ва­лась 21 же­лез­но­до­рож­ная ци­стер­на. При пе­ре­ка­чи­ва­нии были ис­поль­зо­ва­ны три спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ных на­со­са: сна­ча­ла пер­вый насос на­пол­нил че­ты­ре ци­стер­ны эти­ло­вым спир­том, затем вто­рой насос на­пол­нил шест­на­дцать ци­стерн со­ля­ной кис­ло­той и в за­вер­ше­ние тре­тий насос на­пол­нил одну ци­стер­ну ди­стил­ли­ро­ван­ной водой. Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ное время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ка­чи­ва­ние всех про­дук­ции, если из­вест­но, что сум­мар­ная про­из­во­ди­тель­ность всех на­со­сов равна семи ци­стер­нам в сутки.

Кли­ент пла­ни­ру­ет по­ло­жить опре­де­лен­ную сумму денег в банки под не­ко­то­рые про­цен­ты. Треть этой суммы он по­ме­ща­ет на вклад А под r% про­цен­тов го­до­вых, а остав­шу­ю­ся часть денег на вклад Б под q% го­до­вых (про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся в конце года и до­бав­ля­ют­ся к сумме вкла­да). Через год сумма вкла­дов с уче­том про­цен­тов уве­ли­чи­лась на от пер­во­на­чаль­но­го зна­че­ния, а через два года стала со­став­лять 463 200 руб­лей. Если бы кли­ент из­на­чаль­но по­ло­жил бы этой суммы на вклад Б, а остав­ши­е­ся сред­ства  — на вклад А, то через год сумма вклад с уче­том до­бав­лен­ных про­цен­тов) уве­ли­чи­лась бы на от пер­во­на­чаль­ной. Чему в этом слу­чае была бы равна сумма вкла­дов через два года?

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1,6 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 12,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль

преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой пла­теж в 2 раза боль­ше наи­мень­ше­го?

Фирма по про­из­вод­ству ме­бе­ли вы­пус­ка­ет две мо­де­ли спаль­ных гар­ни­ту­ров  — А и В. Их про­из­вод­ство огра­ни­че­но на­ли­чи­ем сырья (ка­че­ствен­ных досок) и вре­ме­нем ма­шин­ной об­ра­бот­ки. Для из­го­тов­ле­ния гар­ни­ту­ра мо­де­ли А тре­бу­ет­ся 24 м² досок и 5 часов ма­шин­но­го вре­ме­ни, а для мо­де­ли В  — 40 м² досок и 11 часов ма­шин­но­го вре­ме­ни. Фирма может по­лу­чить от по­став­щи­ка до 600 м² досок в не­де­лю. Воз­мож­ное время ра­бо­ты машин, име­ю­щих­ся в рас­по­ря­же­нии фирмы, со­став­ля­ет 140 часов в не­де­лю. Из­го­тов­ле­ние гар­ни­ту­ра мо­де­ли А при­но­сит фирме 5000 руб­лей до­хо­да, а мо­де­ли В  — 9000 руб­лей до­хо­да. Сколь­ко гар­ни­ту­ров каж­дой мо­де­ли сле­ду­ет вы­пус­кать фирме в не­де­лю, чтобы при­быль фирмы была как можно боль­ше?

Кли­ент по­ло­жил в банк не­ко­то­рую сумму денег. Через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, он до­ба­вил на свой счет сумму, со­став­ля­ю­щую 0,9 ис­ход­ной, в ре­зуль­та­те чего оста­ток на счете стал равен 3,4 млн руб­лей. А еще через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, оста­ток на его счете уве­ли­чил­ся в 2,2 раза по срав­не­нию с ис­ход­ной сум­мой. Какую сумму кли­ент по­ло­жил в банк пер­во­на­чаль­но, если в конце каж­до­го года банк

на­чис­лял один и тот же про­цент го­до­вых?

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 2400 тысяч руб­лей на (n + 2) ме­ся­ца. Усло­вии его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­во­го и по­след­не­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шить­ся на 400 тысяч руб­лей, а во все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на a тысяч руб­лей.

Най­ди­те n, если всего банку будет вы­пла­че­но 3690 тысяч руб­лей.

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 61 месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­во­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шить­ся на 900 тысяч руб­лей, все сле­ду­ю­щие ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на 30 тысяч руб­лей. Най­ди­те r, если пе­ре­пла­та по кре­ди­ту со­ста­вит 1152 тысяч руб­лей?

В де­каб­ре 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S мил­ли­о­ноа руб­лей сро­ком на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, долг воз­рас­та­ет на 0,8% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, долг дол­жен умень­шить­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Из­вест­но, что в пе­ри­од с 02.12.2021 по 14.08.2022 вклю­чи­тель­но нужно вы­пла­тить банку 1,752 млн руб­лей. Най­ди­те S. Какая сумма будет вы­пла­че­на банку в пе­ри­од по 14.12.2021 вклю­чи­тель­но?

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 480 тысяч руб­лей на 27 ме­ся­цев.

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­вые два ме­ся­ца и по­след­ний месяц долг дол­жен умень­шить­ся на a тысяч руб­лей, все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на b тысяч руб­лей.

Най­ди­те а, если всего банку будет вы­пла­че­но 656,4 тысяч руб­лей.

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на S тысяч руб­лей на 52 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­вый и вто­рой ме­ся­цы долг дол­жен умень­шить­ся на 600 тысяч руб­лей, все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на a тысяч руб­лей.

Най­ди­те S, если всего банку будет вы­пла­че­но 4405,5 ты­ся­чи руб­лей.

В фев­ра­ле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре 3,6 млн руб­лей сро­ком на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­дый месяц долг дол­жен умень­шить­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Из­вест­но, что с 5 по 10 месяц вклю­чи­тель­но, нужно вы­пла­тить банку 1,089 млн руб­лей. Най­ди­те про­цент банка r. Сколь­ко будет вы­пла­че­но банку за пер­вые 12 ме­ся­цев?

В офис­ном стро­е­нии 8 эта­жей, на каж­дом из ко­то­рых, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ка­би­нет на­чаль­ни­ка от­де­ла. Управ­ля­ю­щая жи­лищ­ная ком­па­ния объ­яви­ла, что в день про­фи­лак­ти­че­ско­го ре­мон­та лифта он сде­ла­ет всего один подъ­ем сразу всех на­чаль­ни­ков от­де­лов на один, ука­зан­ный ими, этаж. После подъ­ема на­чаль­ни­ки будут вы­нуж­де­ны идти в свои ка­би­не­ты по лест­ни­це.

В ка­че­стве ком­пен­са­ции за при­чи­нен­ные не­удоб­ства за каж­дый не­об­хо­ди­мый подъ­ем на оче­ред­ной этаж по лест­ни­це каж­до­му на­чаль­ни­ку будет на­чис­ле­но 200 руб­лей. За каж­дый ана­ло­гич­ный спуск  — 100 руб­лей. Этаж не­об­хо­ди­мо вы­брать так, чтобы общая сумма ком­пен­са­ций была ми­ни­маль­ной. Опре­де­ли­те в руб­лях эту сумму.

В пер­вый ра­бо­чий день ме­ся­ца с за­вод­ско­го кон­вей­е­ра сошло не­ко­то­рое число трак­то­ров. Каж­дый сле­ду­ю­щий ра­бо­чий день их вы­пуск воз­рас­тал на 3 трак­то­ра еже­днев­но, и ме­сяч­ный план  — 55 трак­то­ров  — был вы­пол­нен до­сроч­но, при­чем за целое число дней. После этого еже­днев­но вы­пус­ка­лось 11 трак­то­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко трак­то­ров было вы­пу­ще­но в пер­вый ра­бо­чий день, и на сколь­ко про­цен­тов был пе­ре­вы­пол­нен ме­сяч­ный план, если из­вест­но, что в ме­ся­це было 26 ра­бо­чих дней, а пла­но­вая ра­бо­та дли­лась не менее 3 и не более 10 дней.

В Доме пра­ви­тель­ства 18 эта­жей. На каж­дом этаже, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ми­ни­стер­ство. Од­на­ж­ды утром все 17 ми­ни­стров зашли в лифт, ко­то­рый может сде­лать толь­ко один рейс, а даль­ше каж­дый ми­нистр дол­жен идти до сво­е­го этажа пеш­ком по лест­ни­це. Из­вест­но, что каж­дый ми­нистр с не­удо­воль­стви­ем опус­ка­ет­ся на один этаж вниз по лест­ни­це и с двой­ным не­удо­воль­стви­ем под­ни­ма­ет­ся на один этаж вверх по лест­ни­це. На каком этаже им сле­ду­ет оста­но­вить лифт, чтобы сумма всех не­удо­воль­ствий была наи­мень­шей?

Иван по­ло­жил в банк не­ко­то­рую сумму денег на 4 года. Перед на­ча­лом каж­до­го года он вы­би­ра­ет одну из двух схем на­чис­ле­ния при­бы­ли в на­сту­па­ю­щем году: 1) к сумме на счёте при­бав­ля­ет­ся 10% от на­хо­дя­щей­ся на нём суммы; 2) к сумме на счёте при­бав­ля­ет­ся 5% от на­хо­дя­щей­ся на нём суммы и 50 тысяч руб­лей. Из­вест­но, что по про­ше­ствии 4 лет Иван мак­си­маль­но может по­лу­чить 417 967 руб­лей при­бы­ли, если будет оп­ти­маль­но вы­би­рать схему на­чис­ле­ния при­бы­ли. Сколь­ко руб­лей по­ло­жил на счёт Иван?