PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. Найдем ограничения на 
Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения 
и 
обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: 
и 
должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство 
Оценим 
Очевидно, что 
т. е. для любого 
Следовательно, 
при любом значении 
Отсюда вывод: выражение также обязано быть отрицательным. Последнее условие будет выполнено, если имеет место неравенство 
Решим его:
Теперь найдем знак выражения 
Выше было выявлено, что 
Это значит, что
Ясно, что 
Следовательно, 
Когда нам известен знак каждого из выражений 
и 
мы вправе переписать заданное неравенство так:
Оно равносильно цепочке следующих неравенств:
Последнее неравенство верно при всех значениях переменной x, так как 
Итак, заданное неравенство верно при всех допустимых значениях x, т. е при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
при любом значении 
то 
функция 
— возрастающая как произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения. На этом промежутке непрерывная функция примет наименьшее значение в точке 0, наибольшее значение — в точке 
Покажем, что упомянутое наибольшее значение функции будет меньше 4. Действительно, 
или 
или 
или 
можно вести и так:
при всех значениях x, поскольку 
Следовательно, 
так как 
Для таких x:
при любом 
так как 
Тогда:
то 
методом рационализации.
то 
для всех 
Следовательно, на M: 
не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что 
(неравенство очевидное).
будем иметь:
являются элементы множества 
(неравенство очевидное).
(неравенство доказано выше).
имеем: 
или 
Для таких х:
следовательно, на 
следовательно, 
а это значит, что на M правая часть неравенства неотрицательна при всех значениях 
т. е. 
то заданное неравенство будет выполнено при всех 
Это — часть искомого решения.
т. е. 
то имеет место система неравенств: 
при 
или при 
(но 
есть одно из решений исходного неравенства. 
и решим неравенство 
Решение будем вести на M методом рационализации. 
следовательно, 
При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства 
так как 
то 
или 
или 
то 
или 
или 
или 
тогда 
т. е. при 
будем иметь: 
При этом 
следовательно, 
или 
строго положительно при любом значении x, отличном от 2. (Значение
в данном неравенстве из рассмотрения исключается, см. ограничение (2)). Действительно, 
Так как 
тогда:
(в соответствии с (2) и (3)).
В таком случае ограничения x: 
примет вид:
(неравенство очевидное).
тогда 
следовательно, посторонний. Второе:
т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно t методом интервалов.
не меньше 1, а правая же часть — не больше 1. Следовательно, неравенство выполнимо при равенстве обеих частей, т. е. лишь при 
Тогда: 
не является решением неравенства. При 
получаем:
тогда:
не имеет решений, а из неравенства 
получаем: 
Сравним 
и 
и поэтому решением неравенства являются два промежутка: 
и 
где 
тогда 
у которого решений нет. 
Там 
И тогда 
на множестве 
Тогда 
тогда: 
тогда: 
Найдем корни числителя левой части последнего неравенства. 
Перейдем к переменной х. 
(*)
(**)
Это позволяет сделать замену переменной 
где 
На этом множестве значений переменной t справедливо тождество
решим неравенство 
методом интервалов на отрезке 
Для этого найдем нули функции на этом отрезке:
на промежутки знакопостоянства функции 
Возьмем пробную точку:
и на 
и 
заключаем, что 
или 
Тогда: 
тогда 
а значит, 
тогда: 
т. е. 
Далее при 
имеем: 
то последнее неравенство равносильно неравенству 
Мы получили другую часть решений неравенства. 
Тогда: 
Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x = 1,5; функция 
— возрастающая в области определения; функция же 
— убывающая в своей области определения; при x = 1,5 обе эти функции определены. 
не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5 — часть решений исходного неравенства. 
не подходит. При имеющихся ограничениях на x:
Тогда: 
(для последнего 
Следовательно,
тогда 
Перейдем к переменной х. 
Тогда: 
следовательно, 
для всех 
то на M:
Действительно, 
Очевидно: 
будем рассматривать только на множестве 
Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2). 
то есть 
то: 
то есть 
то:
при любом 
Действительно, 
t > 0. Тогда: 
при любом t, поскольку 
Перейдем к переменной x.
Так как 
то:
(все корректно, так как 
).
Тогда:
Перепишем неравенство
или 
(не забудем потом учесть, что 
то обе скобки отрицательны, и неравенство не выполняется.
то 
— возрастающая функция, причем 
при 
при 
Поэтому первая скобка меняет знак при 
вторая — при 
только при 
то есть при 
возможно в двух случаях — либо 
(то есть 
либо 
(что невозможно).
Для таких x:
то 
получим часть решений заданного неравенства: 
то 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
Получим: 
откуда 
или 
то 
или 
то 
Получим
неравенство будет выполнено, а при 
неравенство не определено. При 
преобразуем неравенство:
получаем ответ 
откуда:
Неравенство равносильно 
то есть
что верно на всем промежутке.
Неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
)
поэтому необходимо чтобы 
лежало в промежутке 
То есть 
имеем 
Разберем два случая.
Тогда неравенство перепишется так
Тогда неравенство перепишется так
получаем:
заметим также, что 
причем 
подходит.
Тогда неравенство сводится к такому:
синус отрицателен, это нам не подходит.
нам подойдет промежуток 
(отметим, что 
).
или 
Сразу отметим, что 
откуда 
или 
Решим оба неравенства (заметим, кстати, что 
).
первый множитель положителен.
Заметим, кстати, что 
поэтому 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
то есть 
Тогда неравенство сводится к 
что верно при всех x при 
Тогда получаем верное равенство.
(делить на t можно, оно положительное),
или 
или 
или 
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
получим 
Неравенство обращается в равенство.
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
Неравенство примет вид 
Преобразуем его:
То есть 
Окончательно: 
Неравенство примет вид 
Преобразуем его:
или 
и отметим сразу, что 
При 
то есть 
неравенство обращается в равенство, а при 
на выражение 
можно сократить, поскольку оно положительно. Получаем: 
или 
и упростим неравенство.
Поэтому 
поэтому основание логарифма всегда меньше 
и 
Тогда можно снять логарифмы, поменяв знак:
При этих значениях x число логарифма 
положительно, а 
не меньше его, поэтому тоже положительно. Значит, никаких больше ограничений не требуется.
Сделаем замену 
Получим
Поэтому 
Получим 
и сведем все неравенство к 
Получим
Отсюда 
и рационализируем его:
Неравенство определено при 
и 
то есть при 
Отметим, что 
Окончательно получим ответ 
получим: 
то есть 
кроме того, 
и 
откуда 
Теперь перейдем к другому основанию и рационализируем неравенство:
Получим 
Учитывая выписанные выше ограничения, получаем ответ 
При таких 
неравенство равносильно:
Учитывая ОДЗ, пишем окончательный ответ 
получим неравенство:
получим 
то есть 
или 
При 
или 
Второе всегда верно. При 
получим 
или 
Первое верно при 
второе при 
Еще следует учесть, что 
иначе логарифмы не определены. 
При прочих x числитель должен быть неотрицателен. Обозначив 
получим: 
будет 
а при 
функция 
возрастает, причем 
и 
поэтому нам подходят положительные 
либо от 
Перепишем неравенство:
Поэтому 
Перейдем к основанию 2 и рационализируем неравенство:
Учитывая ограничения, получим: 
Получим уравнение 
Значит, 
или 
Поэтому либо 
либо 
На нашем промежутке из этих чисел лежат: 
так никогда не бывает.
Первые два условия дают 
третье запрещает 
четвертое выполнено всегда, пятое запрещает точки 
Из них на промежутке 
лежат: 
неравенство обращается в равенство. При прочих x множитель 
не влияет на знак и его можно сократить. Перейдем в логарифме к новому основанию и рационализируем неравенство:
при всех допустимых x, этот множитель тоже не нужен:
и 
А, кроме того, подкоренное выражение неотрицательно. Имеем:
положительно, поэтому можно домножить на него:
правая часть отрицательна, поскольку равна 
На этом промежутке 
причем последнее равенство достигается только при 
но там первые неравенства становятся строгими. Значит, левая часть (она положительна) больше правой. Неравенство верно.
выражение 
положительно. Значит, можно возвести неравенство в квадрат:
Очевидно, на нашем промежутке 
это невозможно. Значит, весь этот промежуток не подходит.
Больше никаких условий в ОДЗ нет, поскольку: 
упростим так:
для него получится 0.
и 
Получим:
поэтому 
и на него можно сократить. Имеем: 
Поскольку 
единственный шанс — взять такое x, чтобы 
Для 
подходит только 
Третье неравенство дает 
второе 
а остальные уже ничего не добавляют. Итак, 
Значит, 
Преобразуем неравенство:
Получим:
поэтому 
поэтому первая скобка всегда положительна и на знак не влияет. Имеем:
это точно верно. При прочих x из этого отрезка можно возвести в квадрат:
Получим:
то есть при 
Решим теперь на этом промежутке неравенство 
Имеем:
поэтому 
Поэтому требуется, чтобы 
Это возможно только при 
Тогда 
Неравенство запишется так:
при этом 
Имеем:
Тогда:
неравенство принимает вид 
неравенство принимает вид 
Неревенство примет вид 
никогда не лежит, поскольку неположительно. Значит:
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число.
или 
имеем 
поэтому можно поделить на 
— положительное число. Имеем:
При этих x знаменатель положителен, поэтому на него можно не обращать внимания. Имеем:
(первое ограничение из-за 
в числителе). Рационализируем числитель:
Получаем 
тогда 
После сокращения и приведения к общему знаменателю имеем: 
Значит, 
тогда 
то 
(иначе второй корень неопределен)
обе части определены и неотрицательны, можно возвести в квадрат.
обе части определены и неотрицательны (поскольку 
то есть 
Второй корень отрицательный, он неважен. 
Приводя все логарифмы к основанию 
, получим 
откуда 
или 
(иначе 
) можно домножить на знаменатель
Это верно.
Перепишем его в виде 
то есть 
неравенство примет вид 
откуда 
тогда 
Преобразуем дальше, сделав замену 
и преобразуем неравенство.
:
первая скобка положительна, а вторая отрицательна.
первая скобка отрицательна 
и вторая тоже.
перепишем неравенство в виде
Это и есть ответ.
тогда неравенство примет вид:
и рассмотрим случаи.
неравенство равносильно 
что очевидно неверно - при 
правая часть больше единицы, а левая меньше.
возникают снова два случая.
неравенство равносильно 
что очевидно верно.
неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
Окончательно получаем ответ: 
и сразу отметим, что 
и 
иначе 
или 
будет неопределено. При 
и неравенство обратилось в равенство 
При прочих t из промежутка 
это выражение положительно и на него можно поделить. 
тогда получим 
При 
подкоренное выражение отрицательно, Значит, 
тогда 
откуда 
(отрицательные p не рассматриваем). То есть 
откуда 
то есть 
получаем
Значит, 
(так как одно из слагаемых больше единицы), то неравенство сводится к неравенству 
Тогда: 
Перенесем все в одну часть и сделаем рационализацию при условиях 
Тогда при положительных t получаем 
что невозможно. При отрицательных t получаем 
и приведем все логарифмы к основанию 2,учитывая что 
имеем:
преобразуем неравенство:
Ясно, что 
При таких x получим по методу рационализации
При этих условиях получаем
Преобразуем его на ОДЗ и применим метод рационализации.
знаменатель всюду положителен. Домножим на него и на 
откуда
или 
или 
тогда неравенство примет вид
и 
и 
и 
При этих условиях, обозначая 
имеем
тогда 
и 
При этих условиях проведем рационализацию.
и преобразуем неравенство. Затем сделаем замену 
Получим:
второй промежуток можно убрать, попасть в него нельзя. Далее:
Получим:
поэтому 
поэтому 
Это уравнение мы уже решали, но теперь у него как раз 
корень, а 
посторонний корень.
неверно.
верно.
неверно, левая часть отрицательна.
верно, знаменатель левой части явно положителен.
верно.
и 
можно сокращать, потому что эти выражения положительны. Имеем:
если они оба положительные, одно больше единицы, а другое меньше. Поэтому при всех 
левая часть неравенства отрицательна. Значит, при всех этих x неравенство выполнено, а другие x подставлять нельзя.
тогда 
Неравенство примет вид
и сделаем замену 
Имеем:
Далее:
то есть 
Имеем:
имеем: 
то есть 
Имеем:
то выражение сверху будет равно 
Имеем:
получаем окончательно 
(то есть 
) и 
(то есть 
При этих условиях преобразуем неравенство и рационализируем его.
В (**) сокращать можно, поскольку 
Все эти ответы удовлетворяют наложенным изначально ограничениям.
Обозначим 
тогда неравенство примет вид:
Если 
мы получаем систему неравенств, которую решим, рационализируя их. Имеем:
Окончательно: 
имеем:
Имеем:
(остальные ответы не удовлетворяют условию 
).
имеем:
Поэтому такой случай невозможен.
После преобразований получим:
первое неравенство не выполняется. При 
находим
Перейдём 
Первое условие дает 
то есть 
Второе условие дает 
Третье выполнено автоматически, поскольку 
или 
Поэтому все вместе они задают такую область определения неравенства — 
При таких x преобразуем неравенство:
или 
На ОДЗ неравенство можно преобразовать так:
имеем 
поэтому неравенство можно переписать в виде:
поэтому показатель степени должен быть неотрицательным. То есть 
имеем: 
поэтому показатель степени должен быть неположительным. То есть 
основание неположительно, такое выражение считается неопределенным, даже если формальная подстановка возможна (например, при 
получаем 
).
то есть 
). Имеем:
и 
Из первых двух условий следуют все остальные, поэтому ОДЗ неравенства: 
Преобразуем его теперь и рационализируем:
тогда неравенство примет вид 
то есть
):
то есть 
то есть 
или 
и 
то есть 
Итого ОДЗ неравенства будет 
тогда
и 
поэтому 
Для этих x преобразуем неравенство:
получим 
Далее:
второе, четвертое и седьмое дополнительно дают 
Итак, 
получаем два неравенства:
Перейдём к основной переменной:
последние два выполняются тогда автоматически. Кроме того 
Итак, 
Преобразуем неравенство и рационализируем его:
(отметим, что 
).
и преобразуем неравенство:
Этого достаточно — выражение под логарифмом будет не меньше 1, основание будет больше 1, знаменатель — сумма двух неотрицательных слагаемых (первое даже строго положительно), поэтому положителен. Значит, числитель должен быть не меньше знаменателя. То есть 
Рационализируем его:
(
Аргумент первого логарифма всегда положителен. Рационализируем неравенство:
получаем 
и 
Еще нужно обеспечить 
то есть 
Рационализируем неравенство:
причем 
только при 
Произведение остальных скобок должно быть неположительно, поэтому 
Все выписанные значения положительны, в них исходное неравенство определено.
и 
то есть 
При этих условиях 
определен и положителен, то есть не влияет на знак. Остальное можно рационализировать:
тогда 
Неравенство примет вид 
откуда 
и 
имеют не одинаковые, а противоположные знаки.
Заметим, что 
поэтому 
Получаем:
или 
откуда 
или 
Тогда
или 
или 
тогда:
а потому неравенство можно записать в виде
получаем 
откуда
тогда
неравенство выполняется, а при 
не выполняется. Значит, 
Рассмотрим три случая. При 
функция 
является возрастающей, тогда
или 
и/или 2
получим: 
а потому 
кроме того 
Для таких значений переменной справедливы тождества:
находим:
неравенство верно. Если 
обе части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат, не меняя знака неравенства:
обе части неравенства отрицательны. После возведения в квадрат получим неравенство с противоположным знаком, его решением будет:
